Sí, dos conjuntos diferentes de rendimientos pueden llevar a los mismos pesos (por lo que no podrá demostrar lo contrario). Además, el término "solución única" significa algo diferente a como lo has utilizado.
Tomando $p$ y $Q$ como se da, el mapeo de $\boldsymbol{\mu}$ a las soluciones $\mathbf{x}^*$ no es inyectiva
Voy a dar un contraejemplo sencillo que muestra que el mapeo no es inyectivo. Supongamos que $p=2$ . $Q$ puede ser cualquier cosa. Ahora considere dos escenarios:
- Escenario 1: $\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$
- Escenario 2: $\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix}$ .
La solución a su problema de optimización anterior en ambos casos es $ x= \begin{bmatrix}.5 \\ .5 \end{bmatrix}$ . Dos entradas diferentes dan lugar a la misma salida, por lo que el mapeo no es inyectivo.
¿Qué está pasando?
Si tiene $k$ activos, vector $\boldsymbol{\mu}$ vive en un $k$ espacio dimensional. Por otro lado, las restricciones de $\mathbf{x}$ implican que la solución $\mathbf{x}^*$ sólo puede tomar valores en un $k-2$ espacio dimensional. No vas a tener una correspondencia uno a uno entre espacios de diferente dimensión.
Qué se entiende por solución única
Cuando se dice que un problema de optimización tiene una solución única, se quiere decir que tiene una solución y que ésta es única.
No significan que el mapeo de las entradas del problema de optimización a las variables de elección óptimas sea una función inyectiva.
