Microeconomía - Teoría de la utilidad esperada - Índice de utilidad a trozos, equivalencia de certeza, etc.

Question

Estoy resolviendo problemas antiguos de varias calificaciones de diferentes universidades para prepararme para un próximo examen. Me encontré con esto y quería preguntar si alguien puede confirmar mis respuestas?

Mis respuestas:

*Utilizo* $\succeq$ para denotar "al menos tan bueno como".

(a) Una equivalencia de certeza, en general, es la cantidad de dinero $c(F,u)$ para que:

$F \in \Delta(\mathbb{R})$ , $\delta_{C(F,u)} \backsim F$ $\equiv u[C(F,u)] = U(F)$

Aquí, nunca he visto algo así y por lo tanto es mi mejor suposición:

• $ \forall$ $x<M $ , $C(F,\sqrt(x))= u^{-1}[\int\sqrt(x)dF$ ]
• $ \forall$ $x\geq M$ , $u[C(F,\sqrt(M))]= [\sqrt(M)] \implies C(F,u)=x$

Desde $u()$ no es 1-1, por lo tanto no es invertible, sobre $x\geq M$ Al final decidí que mi resultado anterior era cierto

• O debería ser algo más parecido:

$u[C(F,u)] = F(M)\sqrt(x) + [1-F(M)]*\sqrt(M)$

---

(b) Sé que el equivalente de certeza es menor o igual que el valor esperado de $F$ si un agente tiene aversión al riesgo.

Creo que es lo mismo que decir $u[C(F,u)] \leq u(\int x dF)$ , $\forall F \in \Delta(\mathbb{R})$

---

(c) Un agente tiene aversión al riesgo si y sólo las preferencias del agente están representadas por un índice de utilidad cóncavo $u(.)$ y por lo tanto este agente tiene aversión al riesgo ya que:

• $x < M$ $\implies u(x)=\sqrt(x)$ que es claramente cóncavo.
• $x\geq M$ dejar ${x_1,x_2} \subset [M,\infty)$ y que $\alpha \in [0,1]$ Entonces $\alpha*x_1 + (1-\alpha)*x_2 \in [M,\infty)$

Ahora bien, tenga en cuenta que $u(x_i)=\sqrt(M)$ , para $ i=1,2,3$

y así $$u(x_3) \geq \alpha u(x_1) + (1-\alpha)u(x_2)$$

$$\to u(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \geq \alpha u(x_1) + (1-\alpha)u(x_2)$$

---

(D) De nuevo, no estoy seguro de esto. Todo lo que sé sobre F.O.S.D es que para dos loterías F,G, entonces para todo el dinero de la UE preferencia monótona: $$F \geq_{FOSD} G \iff F \succeq G $$

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos que la variable aleatoria $X\sim F$ .

1. Certeza equivalente a la lotería $X$ es la constante $c$ que resuelve:

   $u(c) = \mathbb{E}(u(X))$

2. Porque $u(x) = \min(\sqrt{x}, \sqrt{M})$ es cóncava, por la desigualdad de Jensen:

   $u(c) = \mathbb{E}(u(X)) \leq u(\mathbb{E}(X)) $

3. El agente tiene aversión al riesgo porque $u$ es cóncavo.

4. Si el agente prefiere la lotería $X\sim F$ a la lotería $Y\sim G$ no es necesario que $F$ FOSD $G$ . Considere las siguientes dos loterías:

$X = \frac{M}{2}$ con probabilidad 1.

$Y = M$ con probabilidad $\frac{1}{2}$ y $Y = 0$ con probabilidad $\frac{1}{2}$ .

Desde $u$ es cóncava, la lotería $X$ es preferible a la lotería $Y$ . Esto porque $X$ da el valor esperado de la lotería $Y$ con probabilidad 1. También, $F$ no FOSD $G$ porque $F\left(\frac{M}{2}\right) = 1 > \frac{1}{2} = G\left(\frac{M}{2}\right) $ .