Equilibrio de Nash perfecto: juego de dos etapas

Question

Las organizaciones benéficas se clasifican según la proporción de su presupuesto total que se gasta en programas (lo que se destina directamente a los receptores de sus servicios) en relación con el dinero que se gasta en administración (por ejemplo, los salarios de su personal). Supongamos que hay una organización benéfica que gasta P en sus programas y S en la administración (salarios). Por tanto, su presupuesto total es B = S + P y una proporción P/B se destina a los programas. El director de la organización benéfica se preocupa por la reputación de la misma (ranking), pero también por su salario. Supongamos que maximiza $Q =(P/B)^a$ $S^{1-a}$ , $ 0 <a< 1 $ .

Los únicos donantes de la organización benéfica son los jugadores 1 y 2, que se preocupan por la cantidad total de dinero que se destina a los beneficiarios de los servicios de la organización. El donante k tiene un presupuesto W y una función de utilidad $U_k$ = $c_k$ P, donde $c_k$ es la cantidad de dólares que se gasta en un bien privado. Sea la donación del jugador k a la beneficencia $D_k$ , k = 1 ,2 . El calendario de acciones es el siguiente: En la etapa 1 los donantes eligen $D_1$ y $D_2$ simultáneamente, y en la etapa 2 , la organización benéfica elige entonces S y P.

a) Encuentre el sub-equilibrio perfecto de este juego.

b) Alguien afirma que los donantes dan menos en total a la organización benéfica a medida que aumenta el nivel de eficiencia de ésta (desde su punto de vista). Compruebe la validez de esta afirmación en este sencillo modelo y exponga la intuición de su respuesta.

c)Supongamos ahora que, además de la organización benéfica anterior, existe otra organización benéfica que es idéntica a la primera, salvo que la función objetivo de su gestor es $Q =(P/B)^b$ $S^{1-b}$ , $ 0 <b< 1$ . Llamemos a estas organizaciones benéficas de tipo a y de tipo b. Supongamos que a >b . Denotemos la donación del jugador k a la organización benéfica j como $D_k^j$ , k=1 ,2 y j=a ,b. ¿Cuál es el sub-equilibrio perfecto de Nash del juego? (Pista: escriba las condiciones de Kuhn-Tucker de los donantes).

Lo que hice es que

Para a) Parto del juego de la 2ª etapa y maximizo la función de utilidad de la beneficencia

max $(P/B)^a$ $S^{1-a}$

s.t B = S+ P

El problema sin restricciones se convierte en:
max $(P/B)^a$ $(B-P)^{1-a}$

Tomando FOC wrt P obtenemos P*= aB

A continuación, yendo al estado 1, determino la función de mejor respuesta.El donante 1 quiere maximizar

max (W -D1)(D1 +D2)

La mejor función de respuesta para el donante 1 es D1 = (W- D2)/2 . Haciendo lo mismo para el donante 2, la mejor función de respuesta es D2 = (W- D1)/2 Las opciones óptimas son D1*=D2*= W/3. Volviendo a la etapa 1 y sustituyendo , P*=2W/3 , B*=2W/3a y S*=2W(1-a)/3a Este es el equilibrio de Nash.

Para la parte b)

El d Q/ d(P/Q) = a $( P/ B)^{a-1}$ $S^{1-a}$ > 0

y $d ^2$ Q/d $(P/Q)^2$ = a(a-1) $(P/B)^{a-2}$ $S^{1-a}$ < 0

Pero me he atascado y no sé cómo interpretarlo.

Para la parte c) las condiciones de Kuhn-Tucher de los donantes son :

$D_1^a$ + $D_2^a$ $\geq$ $D_1^b$ + $D_2^b$

$D_1^a$ + $D_2^a$ $\geq 0 $

$D_1^b$ + $D_2^b$ $\geq 0 $

Pero si los introduzco en el problema de maximización del donante no llego a un resultado.

Se agradecerá cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

En la parte a, si $B = D_1 + D_2$ entonces el SGPE debe ser

$\left\lbrace D_1 = \frac{W}{3},\ D_2 = \frac{W}{3}, \left\lbrace P = \alpha (D_1 + D_2), \ S = (1 - \alpha) (D_1 + D_2) \right\rbrace \right\rbrace$

No digas $P = \alpha \frac{2W}{3}$ . Eso es una acción, y la segunda etapa mejor respuesta debe una estrategia (función) para hacer el equilibrio subgame perfect.

Answer 2

Primero encontraremos la estrategia del gerente. El gerente de la organización benéfica elige $S$ y $P$ resolviendo el siguiente problema :

\begin{eqnarray*} \max_{S, P} & \ \frac{P^a S^{1-a}}{B^a} \\ \text{s.t.} & \ P+S = B \end{eqnarray*} donde $B = D_1+ D_2$ . Resolviéndolo obtenemos la estrategia del gestor en función de las donaciones $D_1, D_2$ como : \begin{eqnarray*} P &=& aB = a(D_1+D_2)\\S &= &(1-a)B = (1-a)(D_1+D_2) \end{eqnarray*} Dada la estrategia de la organización benéfica, los donantes 1 y 2 eligen las donaciones $D_1^*$ y $D_2^*$ de tal manera que

• $D_1^*$ resuelve \begin{eqnarray*} \max_{c_1, D_1} & \ c_1a(D_1+D_2^*) \\ \text{s.t.} & \ c_1 + D_1 = W \end{eqnarray*}
• $D_2^*$ resuelve \begin{eqnarray*} \max_{c_2, D_2} & \ c_1a(D_1^*+D_2) \\ \text{s.t.} & \ c_1 + D_2 = W \end{eqnarray*}

Resolviéndolos obtenemos $D_1^* = D_2^* = \dfrac{W}{3}$ . Por lo tanto, la estrategia de respuesta del gestor da como resultado que $P^* = \dfrac{2aW}{3}$ se gasta en programas en el resultado de equilibrio. La utilidad de ambos donantes en el equilibrio es igual a $\dfrac{4aW^2}{9} $ .

Sin embargo, el equilibrio que encontramos no es eficiente. Si consideramos un plan de donación alternativo $D_1' = D_2' = \dfrac{W}{2}$ La cantidad gastada en los programas aumentará a $P' = aW$ . La utilidad de ambos donantes será ahora $\dfrac{aW^2}{2}$ que es mayor que antes. Además, el gestor estará mejor porque ha recibido más donaciones.

Ahora puedes probar (c) tú mismo.