Término de deriva en el modelo Black-Scholes Martingale

Question

Cómo demostraría que un Modelo Black-Scholes no es una Martingala si tiene deriva. En muchos casos sólo se afirma como un hecho (sin pruebas). Por ejemplo, si estoy mirando: $$dS_{t} = \mu S_{t} + \sigma S_{t} dB_{t}$$ $$S_{0} = 1, \beta _{t} = e^{et}, \tilde{\beta}=B_{t}+((\mu-2r)/ \sigma)t $$

A partir de esto llegué a: $dS_{t} = \mu S_{t} + \sigma S_{t} d (\tilde{\beta}-((\mu-2r)/ \sigma)t)$ Lo que cuando se expande lleva a: $$dS_{t} = \sigma S_{t}d \tilde{\beta}_{t} + 2rS_{t}dt$$ ¿Hay una manera de demostrar que esto no es un Martingale con algo más sustancial en lugar de "tiene término de deriva". Im asumiendo que tendría que llevar de nuevo a resolver el SDE. Comenzando con que está bajo P $$Z(t)=S(t)e^{-rt}= S(0)*e^{(\mu -r-1/2 * \sigma^{2})t +\sigma B(t)}$$ Luego se cambia por estar bajo Q. $$Z(t)=S(0)*e^{(\sigma^{2})t +\sigma W(t)}$$ Cualquier ayuda sobre cómo demostrar realmente que la no deriva es una martingala (por lo tanto con la deriva no lo es) sería muy apreciada.

Answer 1

Que ninguna deriva es una martingala:

Que las integrales de ito son martingalas requiere una prueba sencilla pero algebraicamente cúbica. Puede consultar la prueba en Shreve (tiempo continuo). También se puede observar intuitivamente como los incrementos brownianos que se multiplican con sus respectivas integrales son asignado independientemente del valor del integrando . Así, cuando se suman todos los términos, la suma no está sesgada ni hacia arriba ni hacia abajo. Esta es exactamente la propiedad de la martingala.

Que las martingalas no tienen deriva :

El teorema de la representación de la martingala (MRT) afirma que (en términos generales) una martingala puede representarse como una integral estocástica. Esto requiere que cualquier otra representación de la martingala sea un proceso Ito:

$dX/X = a(t,X)dt+b(t,X)dW(t)$

debe tener $a(t,X):=0$ . Si no, tenemos:

$a(t,X)dt+b(t,X)dW(t)=c(t,X)dW(t)$ para todos $t$ para alguna función $c$ debido al MRT.

$a(t,X)dt=c(t,X)dW(t)-b(t,X)dW(t)$ para todos $t$

Como el LHS no tiene variación cuadrática, también lo debe tener el RHS y por tanto $c(t,X)=b(t,X)$ , dejando $a(t,X)$ sea idéntico a 0.

Por lo tanto, nada que sea una martingala puede tener deriva.

Por lo tanto, las martingalas son equivalentes a la no deriva.

Answer 2

Veo un poco de confusión aquí. Intento aclarar un poco. En primer lugar, NO es el modelo Black-Scholes para ser una martingala. Puede ser que una acción sea una martingala.

Permítanme recordar aquí qué significa ser una martingala. Un proceso estocástico (que tiene "buenas propiedades") $X_t$ se dice que es una martingala (con respecto a una determinada filtración $\mathcal{F}_t$ ) si: $$\mathbb{E}\left[ \ X_t \ | \ \mathcal{F}_s \right] = X_s$$ Permítanme pasar a los procesos de Ito. Defino un proceso de Ito como: $$dX_t = \mu(t, X_t)dt + \sigma(t, X_t)dB_t$$ donde $B_t$ es una SBM. Recuerdo que lo anterior es una mera notación abreviada para: $$X_t - X_0 = \int_0^t \mu(s, X_s)ds + \int_0^t \sigma(s, X_s)dB_s$$ Consideremos (es suficiente) el caso simple en el que $\sigma(s, X_s) = \sigma$ y $\mu(s, X_s) = \mu$ . Entonces tenemos: $$X_t - X_0 = \mu t + \sigma B_t$$ esto se deduce ya que las constantes pueden ser llevadas fuera de la integral y que $\int_0^t dB_s = B_t$ .

Recordemos que $\mathbb{E}[B_t | \mathcal{F}_s ] = B_s$ . Así que tenemos: $$\mathbb{E}\left[ \ X_t | \mathcal{F}_s \right] = X_0 + \mu t + \sigma B_s$$ recordando que: $$X_s = X_0 + \mu s + \sigma B_s$$ vemos que los dos difieren. Por lo tanto, $$\mathbb{E}\left[ \ X_t | \mathcal{F}_s \right] \neq X_s$$ es decir $X_t$ no es una martingala.