Adaptar la sensibilidad de un swaption dependiente del modelo a un nuevo modelo

Question

Tengo un modelo de tipos cortos en el que tengo (entre otros) la siguiente métrica (para apalancamientos) para un swaption : $$L = \frac{\frac{\partial}{\partial r}V_0^{\textrm{Swaption}}}{\frac{\partial}{\partial r}V_0^{\textrm{Swap}}}$$ donde $V_0^{\textrm{Swaption}}$ es el tiempo $0$ precio del modelo de swaption y $V_0^{\textrm{Swap}}$ el tiempo $0$ precio modelo del swap subyacente.

Ahora estoy pasando de este modelo de tipos cortos a un modelo en el que se prescribe una dinámica sobre el tipo de swap a plazo, imaginemos por ejemplo un modelo lognormal de Black sobre el tipo de swap a plazo, para hacerlo más sencillo. Me gustaría portar la métrica $L$ al nuevo modelo.

La cantidad $\frac{\partial}{\partial r}V_0^{\textrm{Swap}}$ es, supongo, nada más que la anualidad (también conocida como nivel o pvpb) del swap subyacente, igual a $\sum_i \delta_i P_{0,T_i}^d$ y dada por la curva de descuento al contado (e interpolación).

Pero cómo portar la cantidad $\frac{\partial}{\partial r}V_0^{\textrm{Swaption}}$ al nuevo modelo sin embargo? Por supuesto, puedo escribir $$\frac{\partial}{\partial r}V_0^{\textrm{Swaption}} = \frac{\partial s_0}{\partial r} \frac{\partial}{\partial s}V_0^{\textrm{Swaption}}$$ donde $\frac{\partial}{\partial s}V_0^{\textrm{Swaption}}$ es el delta en el nuevo modelo (con respecto al tipo de cambio $s$ ), pero ¿qué hacer con $\frac{\partial s_0}{\partial r}$ cantidad ?

Si el puerto no es posible, ¿cuál sería una métrica equivalente en el nuevo modelo?

Answer 1

Observamos $A$ la anualidad, de modo que $V^{swap} = A(s - K)$ para que $\frac{\partial V^{swap}}{\partial s} = A$ . Como la regla de la cadena da $$\frac{\partial V^{swap}}{\partial r} = \frac{\partial s}{\partial r} \frac{\partial V^{swap}}{\partial s}$$ conseguimos que $$\frac{\partial s}{\partial r} = \frac{1}{A} \frac{\partial V^{swap}}{\partial r}$$ y como la regla de la cadena da también : $$\frac{\partial V^{swaption}}{\partial r} = \frac{\partial s}{\partial r} \frac{\partial V^{swaption}}{\partial s}$$ que combinado con la ecuación anterior da $$\frac{\partial V^{swaption}}{\partial r} = \frac{1}{A} \frac{\partial V^{swap}}{\partial r} \frac{\partial V^{swaption}}{\partial s}$$ y sumergiendo ambos lados por $\frac{\partial V^{swap}}{\partial r}$ da $$L = \frac{1}{A} \frac{\partial V^{swaption}}{\partial s}$$ donde $A$ viene dada por la curva de descuento al contado y $\frac{\partial V^{swaption}}{\partial s}$ por el nuevo modelo.