Obtención de la deriva de un proceso de Wiener formado a partir de un paseo aleatorio

Question

Estoy tratando de entender cómo se forma la ecuación del Movimiento Browniano Geométrico a partir de un paseo aleatorio. Estoy siguiendo el libro Estadísticas de los mercados financieros pero me cuesta seguir cómo se encuentra la deriva a partir del valor esperado. Entiendo que para un paseo aleatorio $ \left \{ X_n; n \geq 0 \right \}$ , $ E(X_t) = n(2p-1) \cdot \Delta x$ donde $p$ es la probabilidad de aumentar la variable aleatoria en $\Delta x$ y que para $t = n \Delta t$

$$E(X_t) = (2p-1) \cdot t \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

Sin embargo, el libro afirma que para

$$ \Delta t \rightarrow 0, \Delta x = \sqrt{\Delta t}, p = \frac{1}{2} \left( 1+\mu \sqrt{\Delta t} \right)$$ obtenemos que $\forall t$ $E(X_t) \rightarrow \mu t $ .

¿Cómo se obtiene este resultado? Al principio del libro se sugiere que estos valores pueden haber sido elegidos para evitar que la Varianza converja a $0$ Sin embargo, no entiendo por qué $\Delta x = \sqrt{\Delta t} $ y, en particular, por qué hemos elegido $p = \frac{1}{2} \left( 1+\mu \sqrt{\Delta t} \right)$ .

Answer 1

Aquí Δx debe estar en el sentido de desviación y como medida de desviación √Δt viene bien, ya que es la desviación estándar de los incrementos. Como no es un proceso simétrico, tiene una desviación (superior o inferior), lo que significa que la probabilidad de ir en cualquier dirección está sesgada. Cuanto mayor sea el intervalo de tiempo entre dos puntos, mayor será la asimetría de la trayectoria de X con respecto a su media. μ debería representar la asimetría de la distribución, si X tiene una deriva superior, entonces la probabilidad de ir hacia arriba es mayor, y la "biggerness" está determinada por μ mismo. Supongo, que p fue elegido de esta manera sólo para llegar al resultado medio. Porque la distribución real de los incrementos es normal y no puede ser una función lineal de la media.