$\succsim$ es un orden débil sobre $\mathbb R^L$ .
Para un conjunto de presupuestos cerrados $B\subset\mathbb R^L$ definir la correspondencia de la demanda: $$D(B)=\{x\in B|x\succsim y\forall y\in B\}$$ .
Sabemos que $D$ es siempre no vacía y hemicontinua superior e inferior, podemos concluir que $\succsim$ es continua? ¿Podemos concluir que $D$ es racionalizable mediante una función de utilidad?
Mi enfoque: Para la primera pregunta, supongo que primero podemos demostrar que $D$ es racionalizable mediante una función de utilidad $u$ . En segundo lugar, dado que $D$ es continua, $u$ debe ser continua, y $\succsim$ es continua. Pero dudo que este enfoque funcione, porque el segundo paso parece no funcionar.
Para la segunda parte, si $\succsim$ es continua, entonces está representada por una función de utilidad continua. Incluso si $\succsim$ no es continua, debe ser semicontinua superior y aún podemos encontrar una racionalización de utilidad semicontinua superior para $D$ por el teorema de Rader.
Podríamos considerar una versión más sencilla del problema: si la función de demanda es continua, ¿la relación de preferencia es también continua? (Esto lo demostró Mas-Colell en 1978, creo)
