Por qué $W_{t}^3$ no es un martigale?(por Definición)

Question

Si $W_t$ sea un proceso Wiener entonces, ¿cómo puedo demostrar que $W_{t}^{3}$ ¿no es una martingala por definición?

Answer 1

Tenga en cuenta que, para $0 \leq s < t$ , \begin{align*} W_t^3 &= (W_t-W_s+W_s)^3\\ &= (W_t-W_s)^3 + 3(W_t-W_s)^2 W_s + 3 (W_t-W_s) W_s^2 + W_s^3. \end{align*} Además, \begin{align*} E\big( (W_t-W_s)^3 \mid \mathcal{F}_s\big) &= E\big( (W_t-W_s)^3\big)\\ &= 0,\\ E\big((W_t-W_s)^2 W_s \mid \mathcal{F}_s\big) &= W_s E\big( (W_t-W_s)^2\big)\\ &= (t-s)W_s, \end{align*} y \begin{align*} E\big( (W_t-W_s) W_s^2 \mid \mathcal{F}_s\big) &= W_s^2 E\big( (W_t-W_s)\big)\\ &=0. \end{align*} Entonces, \begin{align*} E\big(W_t^3\mid \mathcal{F}_s\big) &= 3(t-s)W_s+W_s^3. \end{align*} Eso es, $\{W_t^3 \mid t\geq 0\}$ no es una martingala. Sin embargo, observamos que $\{W_t^3 -3tW_t \mid t\geq 0\}$ es una martingala. Ver pregunta Demostrar que $E[B_t|\mathscr{F}_s] = B_s$