Estudio de los precios de los bonos de cupón cero en el modelo de tipos cortos de CIR (1985), $\text{d}r_t=\kappa(\theta-r_t)\text{d}t+\xi\sqrt{r_t}\text{d}W_t$ , Hirsa (2013, sección 1.2.6.2) establece que la función característica del tipo de interés realizado $R_t=\int_0^t r_s\text{d}s$ es \begin{align*} \varphi_{R_t}(u)=\mathbb{E}\left[e^{iuR_t}\right] = A_t(u)e^{B_t(u)r_0}, \end{align*} donde \begin{align*} A_t(u) &= \frac{\exp\left(\frac{\kappa^2\theta t}{\xi^2}\right)}{\left(\cosh\left(\frac{1}{2}\gamma t\right)+\frac{\kappa}{\gamma}\sinh\left(\frac{1}{2}\gamma t\right)\right)^{2\kappa\theta/\xi^2}}, \\ B_t(u) &= \frac{2iu}{\kappa+\gamma\coth\left(\frac{1}{2}\gamma t\right)},\\ \gamma &= \sqrt{\kappa^2-2\xi^2iu}. \end{align*}
Como tú dices, $\mathbb{E}[R_t]$ se puede calcular fácilmente utilizando el teorema de Fubini, pero a partir de aquí también tienes $$\mathbb{E}[R_t]=-i\varphi_{R_t}'(0).$$ La varianza es \begin{align} \mathbb{V}\text{ar}[R_t] &= \mathbb{E}[R_t^2] - \mathbb{E}[R_t]^2 \\ &=-\varphi_{R_t}''(0) + \varphi_{R_t}'(0)^2. \end{align} El cálculo de estas derivadas puede ser feo. Podrías utilizar diferencias finitas en su lugar, $$\mathbb{E}[R_t^2]\approx-\frac{\varphi_{R_t}(-h)-2\varphi_{R_t}(0)+\varphi_{R_t}(h)}{h^2}=\frac{2-\varphi_{R_t}(-h)-\varphi_{R_t}(h)}{h^2}.$$
Nota Un término similar a $\gamma$ aparece en la función característica del logaritmo del precio de las acciones del modelo de Heston (1993). Hay que tener cuidado con el signo de root (``trampa de Heston''). No estoy seguro de si lo mismo se aplica aquí.
