¿Cómo puedo resolver el gasto total de dinero si utilizo un MPC no constante?

Question

Antecedentes

Hoy en mi clase de macroeconomía mi profesor nos ha enseñado tres conceptos.

La primera es muy sencilla: el consumo $c$ es una función lineal de la renta nacional $y$ . Matemáticamente, $$c = My + b$$

Llamaremos a $M$ la propensión marginal al consumo, y la denominaremos en consecuencia MPC. La CPM también puede considerarse como la fracción de la renta que se gasta en lugar de ahorrarse. Por lo tanto, la MPC será un número menor o igual a uno pero mayor o igual a cero ( $0 \leq M \leq 1$ ).

El segundo concepto que hemos aprendido es también bastante sencillo. A medida que los ingresos $y$ aumenta, el MPC disminuye.

El tercer concepto es un poco más complicado. Dejemos que Persona 1 tiene $5$ dólares. Sea el MPC universalmente constante e igual a $\frac{3}{4}$ . Ahora bien, como MPC $= \frac{3}{4}$ , Persona 1 gasta $\frac{3}{4}$ de sus ingresos en Persona 2 . Así que Persona 2 tiene unos ingresos de $\frac{3}{4} * 5 = 3.75$ dólares. Persona 2 ahora pasará $\frac{3}{4}$ de sus ingresos en Persona 3 . Y así hasta el infinito. Al instante reconocí esto como la suma de una serie geométrica: $$5*\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{3}{4}\right)^{n} = 20$$ Esto tiene sentido, pero sólo si se prescinde del segundo concepto (MPC disminuye como $y$ aumenta). Cuando pregunté al respecto, mi profesor dijo que, como el cálculo no es un requisito previo para la clase, no profundizaríamos más; simplemente dejaríamos que el MPC fuera una constante para simplificar las cosas en una clase de macroeconomía de nivel introductorio. Así que hoy he pensado un rato en el problema y me he dado cuenta de que si hizo cuenta de que el MPC disminuye a medida que y aumenta, o en este caso, MPC aumentando como $n$ aumenta, entonces podríamos escribir el dinero total gastado como una serie infinita de tipo de producto infinito (??). Mi modelo se puede encontrar a continuación.

La cuestión principal

Acabo de terminar Cálculo III el pasado otoño, así que nunca he aprendido formalmente nada sobre productos infinitos. Ni siquiera estoy seguro de que sean productos infinitos, ya que muchos de ellos son finitos. De todos modos, ¿se puede resolver la convergencia de la siguiente serie infinita que se me ocurrió? Si es así, cómo ¿puedo averiguar el número al que converge? Se agradecerán las explicaciones largas. Tengan en cuenta que tengo un conocimiento muy tosco de las matemáticas más allá del Cálculo III.

$$\sum_{i=0}^{\infty} \left(\prod_{n=0}^{i} \frac{n + 2}{\sqrt{n^2 + 5n + 7}}\right)$$

Tal vez sería mejor si supiera cómo resolver el producto infinito primero.

Además, se me ocurrió la función $\frac{n + 2}{\sqrt{n^2 + 5n + 7}}$ como modelo de MPC porque supuse que los MPC debían empezar por $\frac{3}{4}$ y aumentan asintóticamente hacia $1$ como $n$ se acerca a $\infty$ .

¿Tiene algo de esto sentido económico o me estoy perdiendo un concepto importante?

Answer 1

No sé si la distribución que afirmas es errónea pero me parece que tiene un par de características muy indeseables. Por un lado, prácticamente toda la población tiene >0,99 MPC, lo que parece muy elevado para una distribución que crees centrada en 3/4. Por otro lado, si crees que los shocks de ingresos en tu modelo son transitorios y no permanentes, mi lectura de la literatura es que estos son demasiado grandes. Pero todo esto es independiente de tu pregunta sobre la estimación de cosas condicionadas a la distribución y ordenación real de los CPM.

Ordenando de menor a mayor MPC parece adoptar una postura firme sobre el funcionamiento del comercio en la economía. De nuevo, no sé si eso es incorrecto, pero no me parece que sea cierto. Si pensamos que la MPC es causada por los ingresos, entonces esto es como decir que el tipo más rico obtiene el dinero primero, gasta una parte en la tienda del segundo tipo más rico y ahorra el resto, gasta el gasto del tipo 1 en el tercer tipo más rico y así sucesivamente. La economía me parece menos ordenada que eso y, por tanto, una ordenación aleatoria tiene más sentido para mí en ausencia de pruebas sobre en qué gastan su dinero las personas de alto y bajo MPC.

Probé a trastear con simulaciones (en Python) para ver hasta qué punto podíamos aproximarnos a estas cadenas de consumo aleatorias. En general, experimentando algunos valores de los parámetros con uniforme, beta, y su distribución por encima, la distribución no importa tanto en la determinación del efecto del consumo total. Utilizando las medias geométricas o aritméticas de la distribución MPC se obtienen buenas aproximaciones del efecto del consumo total real a partir de las cadenas aleatorias de consumo.* Por otro lado, si se ordenan los hogares por MPC de mayor a menor o de menor a mayor, esto supone una gran diferencia en los efectos del consumo total resultantes.

* - Dicho esto, he descartado explícitamente las distribuciones de MPC en las que el MPC puede ser cero (o menos). Si eso ocurre, la media geométrica será cero y la aproximación resultante utilizando la media geométrica será bastante pobre.

Código:

# Python 3.x code for stack exchange question
# http://economics.stackexchange.com/questions/3123/how-can-i-solve-for-total-money-spent-if-i-use-a-non-constant-mpc
import numpy as np

# Parameters
households = 5001
sims = 10000
initial_shock = 5

# Alternative marginal propensity to consume populations
MPC_vec_lin = np.linspace(0.01, 0.2, households)
MPC_vec_beta = np.random.beta(2, 5, size=households)

# THis is the function Gragas asks for
nvec = np.arange(0,households)
MPC_vec_gragas = (nvec + 2) / np.sqrt(nvec**2 + 5*nvec + 7)

MPC_vec = MPC_vec_gragas

# Calculate geometeric and arithmetic mean MPC from the population
approx_geo_mean = np.mean(np.log(MPC_vec))
approx_long_run_eqiv_MPC = np.exp(approx_geo_mean)
avg_MPC = np.mean(MPC_vec)

# Assuming that all households had the same MPC (@ geo / arithmetic level), what is the total effect?
approx_total_shock_with_geo = initial_shock / (1 - approx_long_run_eqiv_MPC)
approx_total_shock_with_mean = initial_shock / (1 - avg_MPC)

print('Initial shock size:', initial_shock)
print('Approximate total effect with geometric mean:', approx_total_shock_with_geo)
print('Approximate total effect with arithmetic mean:', approx_total_shock_with_mean)

# Simulating many possible orderings, what is the total effect for each ordering?
total_shock_vec = np.zeros(sims)
for i, item in enumerate(total_shock_vec):
    MPC_vec_random_order = np.random.choice(MPC_vec, replace=False, size=households)
    random_products = np.cumproduct(MPC_vec_random_order)
    total_shock = np.sum(initial_shock * random_products) + initial_shock
    total_shock_vec[i] = total_shock
# Compare resulting average and std. of total effect from simulations
print('Average total effect from simulations:',  np.mean(total_shock_vec))
print('Std Dev of total effect from simulations:',  np.std(total_shock_vec))

# Conclusion, mean and geomean do a very nice job of approximating the resulting total effect without knowing the
# general specific ordering. However, the worst and best total effect ordering (low to high and high to low) are
# quite different.

MPC_vec_low_to_high = MPC_vec.copy()
MPC_vec_low_to_high.sort()

MPC_vec_high_to_low = MPC_vec_low_to_high.copy()
MPC_vec_high_to_low = MPC_vec_high_to_low[::-1]

product_low_to_high = np.cumproduct(MPC_vec_low_to_high)
total_shock_low_to_high = np.sum(initial_shock * product_low_to_high) + initial_shock

product_high_to_low = np.cumproduct(MPC_vec_high_to_low)
total_shock_high_to_low = np.sum(initial_shock * product_high_to_low) + initial_shock

print('Maximum effect ordering effect size:', total_shock_high_to_low)
print('Minimum effect ordering effect size:', total_shock_low_to_high)

Resultados:

Initial shock size: 5
Approximate total effect with geometric mean: 6023.35708426
Approximate total effect with arithmetic mean: 6154.37897874
Average total effect from simulations: 5999.77721767
Std Dev of total effect from simulations: 642.715838738
Maximum effect ordering effect size: 16675.8496051
Minimum effect ordering effect size: 777.157515589