Considere la versión de la paradoja de Wikipedia :
Un casino ofrece un juego de azar para un solo jugador en el que se lanza una moneda justa en cada etapa. El bote comienza con 2 dólares y se duplica cada vez que aparece una cara. La primera vez que aparece una cola, el juego termina y el jugador gana lo que haya en el bote. Así, el jugador gana 2 dólares si aparece una cola en el primer lanzamiento, 4 dólares si aparece una cabeza en el primer lanzamiento y una cola en el segundo, 8 dólares si aparece una cabeza en los dos primeros lanzamientos y una cola en el tercero, 16 dólares si aparece una cabeza en los tres primeros lanzamientos y una cola en el cuarto, etc. En resumen, el jugador gana 2k dólares, donde k es igual al número de lanzamientos. ¿Cuál sería el precio justo a pagar al casino por entrar en el juego?
Si hay un coste de tiempo fijo finito por periodo, $c$ de jugar el juego, entonces la paradoja no se resolvería. El resultado de la lotería sería entonces $$-c+\sum_{t=1}^\infty \left[\frac{1}{2^t}\left(2^t-c\right)\right]=\sum_{t=1}^\infty \frac{1}{2^t}2^t-\sum_{t=0}^\infty \frac{c}{2^t}=-2c+1+1+1+\ldots=\infty$$
Así, como en la paradoja original, el valor de la lotería es infinito.
Una alternativa podría ser suponer que el coste marginal del tiempo empleado no es constante (por ejemplo, es creciente). Sin embargo, es difícil ver cómo se podría justificar un coste creciente del tiempo sin invocar alguna idea de la desutilidad del tiempo (pero todo el propósito de este ejercicio es alejarse de invocar una función de utilidad).
Dos soluciones que están relacionadas (en el sentido de que implican una dimensión temporal) y que podrían ser más atractivas son:
(1) descuento. Incluso si su utilidad de la riqueza es lineal, es posible que dé poca importancia a los pagos futuros porque tiene que renunciar a algún rendimiento durante el periodo que transcurre hasta que se produce el pago. Si el futuro se descuenta a una tasa $\delta<1$ entonces la lotería tendría valor $$\sum_{t=1}^\infty\delta^{t-1}\frac{1}{2^t}2^t=\frac{1}{1-\delta}.$$ Así, el valor de la lotería es finito para cualquier $\delta<1$ y la lotería es más valiosa para las personas más pacientes (es decir, personas con mayor $\delta$ ).
(2) vida útil finita. Esto es formalmente equivalente al descuento, pero conceptualmente diferente. La idea es que el jugador no va a vivir eternamente, por lo que existe la posibilidad de que "muera" antes de tener la oportunidad de cobrar el premio de la lotería. En concreto, supongamos que el jugador muere al final de cada periodo con la probabilidad $\lambda$ y que el pago es cero si muere antes de que termine la lotería. Por lo tanto, el valor de la lotería es $$\sum_{t=1}^\infty\lambda^{t-1}\frac{1}{2^t}2^t=\frac{1}{1-\lambda}.$$ Así, los jugadores que esperan vivir mucho tiempo tienen una mayor disposición a pagar por la lotería, pero el valor de la lotería es finito para quien no espera vivir eternamente.
