En su libro "Why Stock Markets Crash", Didier Sornette analiza una estrategia de negociación que explota las correlaciones de rendimiento.
Considere la posibilidad de un retorno $r$ que se produjo en el momento $t$ y un retorno $r'$ que ocurrieron en un momento posterior $t'$ , donde $t$ y $t'$ son múltiplos de alguna unidad de tiempo (digamos 5 minutos). $r$ y $r'$ puede descomponerse en una contribución media y una parte variable. Nos interesa cuantificar la correlación $C(t, t')$ entre la parte variable incierta que se define como la media del producto de la parte variable parte variable $r$ y de $r'$ normalizado por la varianza (volatilidad) de los rendimientos, de modo que $C(t, t' = t) = 1$ (correlación perfecta entre $r$ y a sí mismo).
Un simple cálculo matemático muestra que el mejor predictor lineal $m_t$ para la devolución en el momento $t$ , conociendo la historia pasada $r_{t-1}, \> r_{t-2}, \ldots ,r_i, \ldots,$ viene dada por
$$m_t\equiv\frac{1}{B(t, t)}\sum_{i<t} B(i, t)r_i,$$
donde cada $B(i, t)$ es un factor que puede expresarse en términos de coeficiente de correlación $C(t', t)$ y se suele denominar coeficiente $(i, t)$ de la matriz de correlación inversa. Esta fórmula expresa que cada rendimiento pasado $r_i$ impactos en el rendimiento futuro $r_t$ en proporción a su valor con un coeficiente $B(i, t)/B(t, t)$ que es distinto de cero sólo si existe una correlación distinta de cero entre el tiempo $i$ y el tiempo $t$ . Con esta fórmula, se tiene el mejor predictor lineal en el sentido de que minimizará los errores de varianza. Armado con esta predicción, tiene una poderosa estrategia de negociación: comprar si $m_t \> > 0$ (aumento del precio esperado en el futuro) y vender si $m_t < 0$ (se espera disminución futura de los precios).
Estoy tratando de resolver para $m_t$ dado el siguiente conjunto de datos...
+----------+-----------------+
| t | r |
+----------+-----------------+
| 15:50:00 | 0.003705090715 |
| 15:51:00 | 0.003873999746 |
| 15:52:00 | 0.002158853672 |
| 15:53:00 | 0.001246754886 |
| 15:54:00 | 0.005646756563 |
| 15:55:00 | -0.001073638262 |
| 15:56:00 | -0.001804395665 |
| 15:57:00 | 0.002322446782 |
| 15:58:00 | 0.001803468933 |
| 15:59:00 | -0.001686730014 |
| 16:00:00 | 0.0008781111203 |
+----------+-----------------+Primero creo una matriz para los desfases temporales $r_{t}, r_{t-1}, r_{t-2}, r_{t-3}, r_{t-4}$ , llamado $\color{blue}{\mathbf M}$ ... $$ \begin{bmatrix} \color{blue}{0.00087811} & \color{blue}{-0.00168673} & \color{blue}{0.00180347} & \color{blue}{0.00232245} & -0.0018044 \\ -0.00168673 & 0.00180347 & 0.00232245 & -0.0018044 & -0.00107364 \\ 0.00180347 & 0.00232245 & -0.0018044 & -0.00107364 & 0.00564676 \\ 0.00232245 & -0.0018044 & -0.00107364 & 0.00564676 & 0.00124675 \\ -0.0018044 & -0.00107364 & 0.00564676 & 0.00124675 & 0.00215885 \\ \end{bmatrix} $$ Con $\color{blue}{\mathbf M}$ Puedo crear una matriz de correlación, llamada $\color{green}{\mathbf C}$ ... $$ \begin{bmatrix} 1. & \color{green}{-0.15885375} & -0.88120533 & 0.52518141 & 0.32904361 \\ -0.15885375 & 1. & \color{green}{-0.27689212} & -0.87324435 & 0.43345156 \\ -0.88120533 & -0.27689212 & 1. & \color{green}{-0.16496963} & -0.38678436 \\ 0.52518141 & -0.87324435 & -0.16496963 & 1. & \color{green}{-0.18292072} \\ 0.32904361 & 0.43345156 & -0.38678436 & -0.18292072 & 1. \\ \end{bmatrix} $$ y su inversa, llamada $\color{red}{\mathbf I}$ ... $$ \begin{bmatrix} \color{red}{678.1834365} & -47.5405215 & 305.9166473 & -205.4095813 & -138.3472675 \\ -47.5405215 & 557.4221492 & 89.6736779 & 245.3640449 & -138.7710611 \\ 305.9166473 & 89.6736779 & 111.2290498 & -89.4926475 & 61.0341470 \\ -205.4095813 & 245.3640449 & -89.4926475 & 323.4950056 & -2.4011426 \\ -138.3472675 & -138.7710611 & 61.0341470 & -2.4011426 & 120.3071511 \\ \end{bmatrix} $$ A continuación resuelvo para... $$ \sum_{i<t} \color{green}{B(i, t)}\color{blue}{r_i}, $$ de la siguiente manera... $$ \color{green}{\mathbf{C}[0][1]} \left( \color{blue}{\mathbf{M}[0][0]} \right) + \color{green}{\mathbf{C}[1][2]} \left( \color{blue}{\mathbf{M}[0][1]} \right) + \color{green}{\mathbf{C}[2][3]} \left( \color{blue}{\mathbf{M}[0][2]} \right) + \color{green}{\mathbf{C}[3][4]} \left( \color{blue}{\mathbf{M}[0][3]} \right) = -0.000394790246734 $$ Finalmente multiplico por $\frac{1}{B(t,t)}$ que Creo que es igual a $\color{red}{\mathbf{I}[0][0]}$ ... $$ \begin{align} m_t & = -0.000394790246734\left( \frac{1}{B(t,t)} \right) \\ & = -0.000394790246734\left( \color{red}{\mathbf{I}[0][0]} \right) \\ & = -0.000394790246734\left( 678.1834365 \right) \\ & = -0.267740206251 \\ \end{align} $$ ¿Resolví para $m_t$ ¿correctamente?
