¿El modelo de precios de las acciones de GBM no se ve afectado por la volatilidad?

Question

Muchos autores afirman que, si se modelan los precios de las acciones a través de GBM, $E[S(t)]=e^{\mu t}$ y, por tanto, la expectativa no está relacionada con la volatilidad.

Sigo dando vueltas a este tema. En primer lugar, parece intuir que hay dudas. Pero puedo argumentarlo de cualquier manera.

Una cosa que puede afectar a esto es que la gente es descuidada, creo, al pensar en la solución del SDE. la solución es

$$S(t)=S(0)e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t} $$

es decir, una distribución lognormal.

Supongamos que usted está mirando una acción que subió de \$100 to \$ 105 el año pasado con una volatilidad del 20%. Parece que mucha gente cree que los parámetros de la lognormal son los siguientes $\mu=.05$ y $\sigma=.20$ Pero, me parece que el parámetro real que entra para "mu" para la lognormal es realmente $.05-\frac{.20^2}{2}$ y, para ser más exactos, es un número más pequeño aún, ya que la composición continua tiene un impacto (es decir, incluso si $\sigma$ eran 0, un número ligeramente inferior a $.05$ sería la tasa correcta, $ln(1.05)$ para ser exactos, por lo que la capitalización continua le da la rentabilidad del 5% a un año.

Así que, en ese sentido, parece que la volatilidad en un GBM reduce los rendimientos, ya que se resta.

Por otro lado, una lognormal tiene una media de $e^{\omega+\frac{\sigma^2}{2}}$ Así que si $\omega=\mu-\frac{\sigma^2}{2}$ puedes convencerte de que, efectivamente, se anulan, dejando $e^{\mu t}$ . Pero si esto es correcto, ¿es cierto que el valor esperado de un precio que evoluciona bajo GBM no depende de la volatilidad? Al menos, esto parece difícil de cuadrar con los casos en los que la vol es muy alta, tanto que $\mu-\sigma^2/2$ podría llegar a ser muy negativo (intente $\mu=.10$ y $\sigma=.7$ ), lo que parece garantizar que el $lim$ $t\to \infty$ de $S(t)$ va a cero.

Answer 1

Las expectativas es lo que encontramos cuando promediamos sobre todos los valores de incertidumbre. Si tomamos una variable con distribución normal $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ entonces no sería una sorpresa que la media sea justo $\mathbb{E}(X) =\mu$ no importa qué $\sigma^2$ es. En este caso el modelo subyacente es que $X = \mu + \sigma \eta$ con $\eta \sim \mathcal{N}(0,1)$ , sólo lo observamos ruidosamente.

El movimiento browniano geométrico es, de forma equivalente, una versión ruidosa de una EDO de primer orden

$dS(t) = \mu S(t) dt$ ,

por lo que parece razonable que la expectativa sea igual a este simple modelo subyacente de los precios de las acciones. Esto es sólo $S(t) = e^{\mu t}$ (hemos supuesto que el precio inicial constante es 1), que es exactamente lo que se puede derivar laboriosamente de la SDE.