Derivación de la fórmula del precio de las acciones John C. Hull 9th Ed p309

Question

Dice asumiendo un proceso de Weiner sin incertidumbre que modela el precio de las acciones: $$ \Delta S = \mu S\Delta t $$ Se puede reordenar a (después de tomar el límite de $\Delta t \to 0$ ... $$ \frac{dS}{S}=\mu dt $$ Luego integrando entre el tiempo 0 y T para obtener: $$ S_T=S_0 e^{\mu T} $$

No entiendo el último paso. ¿Están integrando con respecto a t? ¿Cómo surge la exponencial cuando no había exponencial en la ecuación anterior? ¿Es este paso una condensación de un cálculo complejo que no han mostrado?

Answer 1

Es más sencillo de lo que crees. Hull sólo está resolviendo una EDO.

Puedes poner ingenuamente signos integrales en ambos lados de la ecuación: \begin{align*} \frac{\mathrm{d}S_t}{S_t} &=\mu \mathrm{d}t \\ \implies \int_0^T\frac{\mathrm{d}S_t}{S_t} &=\int_0^T\mu \mathrm{d}t\\ \implies \ln(S_T)-\ln(S_0) &=\mu T \\ \implies S_T&=S_0e^{\mu T}. \end{align*}

Tal vez esto lo haga más fácil: Desde $S_t$ es determinista, es una función ``normal''. Por lo tanto, es posible que desee escribir $y(x)=S_t$ . La ecuación anterior se convierte entonces en $\frac{\mathrm{d}y}{y} =\mu \mathrm{d}x\Leftrightarrow y'=\mu y$ . Por lo tanto, se trata simplemente de resolver una EDO de primer orden.

También hay que tener en cuenta que $\frac{\mathrm{d}S_t}{S_t}=\mathrm{d}\ln(S_t)$ es decir, los rendimientos porcentuales corresponden a los rendimientos logarítmicos si el tiempo es infinitesimal. Por lo tanto, no debería sorprenderte encontrar un exponencial aquí.