Teorema de la utilidad esperada vNM Prueba

Question

Mi profesor de Teoría de las Decisiones me ha pedido que consulte los Apuntes de Teoría de la Elección de David M. Kreps para la demostración del teorema vNM de la utilidad esperada. Antes de comenzar la demostración del teorema, hay dos lemas que se utilizan en la demostración del teorema. No puedo entender la prueba de una parte de uno de los lemas. En concreto, la prueba de la parte (c) del siguiente lema. Entiendo la intuición que hay detrás. Es básicamente el axioma de indpendencia pero con relación de equivalencia, sin embargo no entiendo la prueba en absoluto. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Y esta es la prueba de la parte (c). Cuando el autor habla de aplicar (5.2), se refiere al axioma de independencia y cuando habla de aplicar (5.3) se refiere al axioma arquimediano o de continuidad.

Answer 1

Vamos a escribir \begin{align} x&=ap+(1-a)r\\ y&=aq+(1-a)r \end{align} Quiere demostrar que $x\sim y$ . Pero \begin{equation} x\sim y\quad\Leftrightarrow\quad x\not\succ y\;\text{ and }\;y\not\succ x. \end{equation} Así que la prueba dada trata de establecer que $x\not\succ y$ (y de manera similar, $y\not\succ x$ ) es cierto.

Para demostrarlo, utiliza la prueba por contradicción. Supongamos que lo contrario es cierto: $x\succ y$ y tratar de derivar una contradicción. Esto es lo que hace la prueba dada.