Adivinar y verificar la ecuación de Euler

Question

Así que tengo la condición de Euler escrita como sigue: $$\frac{1}{k_t^a-k_{t+1}}=\frac{a\beta k_{t+1}^{a-1}}{k_{t+1}^a-k_{t+2}}$$ y dice que $k_{t+1}$ tiene la forma $gk_t^a$ donde g es una incógnita a determinar. Sé que el resultado es $k_{t+1}=a\beta k_t^a$ pero no sé cómo se hace la derivación para llegar a este resultado.

De la pista, obtuve que $$\frac{k_{t+2}-k_{t+1}^a}{k_{t+1}-k_t^a}=a\beta k_{t+1}^{a-1}$$

Así que supongo que el LHS es g= $a\beta k_{t+1}^{a-1}$ ?

¿Lo estoy haciendo bien o no?

Answer 1

Una pista:

Tenga en cuenta que \begin{equation} k_{t+1}=gk_t^a \quad\Rightarrow\quad g=\frac{k_{t+1}}{k_t^a}=\frac{k_{t+2}}{k_{t+1}^a}. \end{equation}

Reordena tu condición de Euler en una forma tal que puedas usar $g$ para sub-asignar los ratios anteriores. Entonces debería ser sencillo resolver para $g$ .