Derivado total y composición

Question

Se nos da que $C$ es una función de $Y_D$ y $Y_D=Y-Y\tau$ . ¿Cuál sería el diferencial total de $Y=C(Y_D)$ ?

Hasta ahora tengo lo siguiente: $$ dY=C_{Y_D}(1-\tau)dY+C_{Y_D}(-Y)d\tau$$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo escribir esta expresión en términos de $C_Y$ y $C_{\tau}$ . ¿A dónde voy a partir de aquí? ¿Es dejar la expresión en términos de $C_{Y_D}$ ¿es apropiado?

Answer 1

$\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\dd}{\, \mathrm{d}}$ ¿Cuántos argumentos tiene $C$ ¿tiene? Si el único argumento para $C$ es $Y_D$ entonces $C_Y$ y $C_\tau$ podría no tener sentido. Creo que es fácil meterse en problemas aquí.

Supongamos que $C$ es el único argumento de $Y_D$ . Sin embargo, queremos imponer la restricción de que $Y_D = Y(1-\tau)$ . Bueno, como usted escribió \begin{align*} \dd C = C_{Y_D} \dd Y = C_{Y_d} (1-\tau) \dd Y - C_{Y_D} Y \dd \tau \end{align*} es correcto. Pero lo que es $C_Y$ y $C_\tau$ ? Bueno, técnicamente, $$ \pd C Y = \pd C \tau = 0. $$ Esto se debe a que $Y$ y $\tau$ no afectan directamente a $C$ . Supongo que lo que tienes en mente es algo similar a lo siguiente. Supongamos que se define una función $f$ tal que $$ f(Y, \tau) = C(Y(1-\tau)). $$ Entonces \begin{align*} f_Y &= \pd f Y = \pd C {Y_D} (1-\tau) \\ f_\tau &= \pd f \tau = -\pd C {Y_D} Y. \end{align*} Así que, realmente, $C_Y \neq f_Y$ y $C_\tau \neq f_\tau$ porque $C_Y$ y $C_\tau$ son ambos iguales a cero.