MLE utilizando la distribución normal multivariante

Question

Estoy leyendo los apuntes de clase de econometría de un profesor japonés. Para explicar la estimación MLE utiliza la distribución normal multivariante.

Como puede ver, la primera línea es la función de loglikelihood y la segunda línea es proporcional a la ecuación de la primera línea. No puedo entender esto. Cómo y por qué la primera ecuación se puede escribir como la segunda utilizando la traza de una matriz. He oído hablar del "truco de la traza" y esta debe ser la aplicación de este truco, pero necesito ayuda para entenderlo y posiblemente utilizarlo. Gracias

Answer 1

El "truco" al que te refieres es una propiedad de la traza de un producto de matrices, a saber

$${\rm tr}(ABC) = {\rm tr}(BCA)$$

suponiendo que las dimensiones sean conformes, por supuesto.

Ahora bien, hay que tener en cuenta que la dimensión de $(x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu)$ para cada observación, es $1 \times 1$ . Así que trivialmente,

$${\rm tr}\Big[(x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu)\Big] = (x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu) $$

Pero como también, a partir de la mencionada propiedad del trazo,

$${\rm tr}\Big[(x_n-\mu)^T\Sigma^{-1} (x_n-\mu)\Big] = {\rm tr}\Big[\Sigma^{-1} (x_n-\mu)(x_n-\mu)^T\Big]$$

combinando se obtiene la expresión alternativa para la log-verosimilitud normal mutlivariante.