OLS
La parte de OLS está clara: $\sum_{i=1}^n y_{2i} (y_{1i} - \hat\gamma_{12} y_{2i} - \hat\beta_{11} x_{1i}) = 0$ y $\sum_{i=1}^n x_{1i} (y_{1i} - \hat\gamma_{12} y_{2i} - \hat\beta_{11} x_{1i}) = 0$ , donde $\hat\gamma_{12}$ y $\hat\beta_{11}$ son los estimadores OLS.
2SLS
Para el 2SLS, supondré que $(x_{1i}, x_{2i}, x_{3i})$ se utiliza como IV. El correspondiente 2SLS es idéntico al estimador IV utilizando $\hat{y}_{2i}$ y $x_{1i}$ como IV. Así, (creo) las "ecuaciones normales" son \begin{align} \sum_{i=1}^n \hat{y}_{2i} (y_{1i} - \tilde\gamma_{12} y_{2i} - \tilde\beta_{11} x_{1i}) &= 0,\\ \sum_{i=1}^n x_{1i} (y_{1i} - \tilde\gamma_{12} y_{2i} - \tilde\beta_{11} x_{1i}) &= 0, \end{align} donde $\tilde\gamma_{12}$ y $\tilde\beta_{11}$ son los estimadores 2SLS que utilizan $x_{1i}, x_{2i}, x_{3i}$ como IV, y $\hat{y}_{2i}$ es el valor ajustado obtenido mediante la regresión de $y_{2i}$ en los instrumentos $x_{1i}$ , $x_{2i}$ y $x_{3i}$ .
En lo anterior, entendí 2SLS como el estimador IV utilizando $(\hat{y}_{2i}, x_{1i})$ como IV. También podemos entender 2SLS como el estimador OLS de $y_{1i}$ en $(\hat{y}_{2i}, x_{1i})$ . En ese caso, las ecuaciones normales pueden escribirse como \begin{align} \sum_{i=1}^n \hat{y}_{2i} (y_{1i} - \tilde\gamma_{12} \hat{y}_{2i} - \tilde\beta_{11} x_{1i}) &= 0,\\ \sum_{i=1}^n x_{1i} (y_{1i} - \tilde\gamma_{12} \hat{y}_{2i} - \tilde\beta_{11} x_{1i}) &= 0, \end{align} donde $y_{2i}$ se sustituye por $\hat{y}_{2i}$ . Los dos conjuntos de ecuaciones normales para 2SLS (uno en términos de $y_{2i}$ y el otro en términos de $\hat{y}_{2i}$ ) son idénticos.
Interceptar
Me he dado cuenta de que el intercepto está excluido en la pregunta. Si el modelo es $y_{1i} = \beta_{10} + \gamma_{12} y_{2i} + \beta_{11} x_{1i} + \epsilon_i$ en cambio, necesitas ecuaciones para el intercepto también.
Anotaciones matriciales
Utilizando las notaciones matriciales, dejemos que $y$ sea el $n\times 1$ matriz de la variable LHS, $X$ el $n\times 2$ matriz de $(y_{2i}, x_{1i})$ y $Z$ el $n\times 3$ matriz de $(x_{i1}, x_{i2}, x_{i3})$ . Dejemos que $\beta = (\gamma_{12}, \beta_{11})'$ . (Estoy considerando el modelo sin el intercepto. Para el modelo con el intercepto, $X$ y $Z$ contienen una columna de unos). Entonces el estimador OLS es $\hat\beta = (X'X)^{-1} X'y$ que resuelve las ecuaciones normales $X'(y-X\hat\beta)=\boldsymbol 0$ . Para ver esto, observe que $$X'(y-X\hat\beta)=\boldsymbol 0 \\ X'y - X'X\hat\beta = \boldsymbol 0\\ X'X\hat\beta = X'y\\ \hat\beta = (X'X)^{-1}X'y$$
El 2SLS (utilizando $Z$ como instrumentos) el estimador es $$\tilde\beta = [X'Z(Z'Z)^{-1} Z'X]^{-1} X'Z(Z'Z)^{-1} Z'y = (\hat{X}'X)^{-1} \hat{X}'y$$ donde $\hat{X} = Z(Z'Z)^{-1} Z'X$ . Este 2SLS resuelve $\hat{X}' (y-X\tilde\beta)=\boldsymbol 0$ , las ecuaciones normales para este 2SLS. De nuevo, para ver esto, observe que $$\hat{X}' (y-X\tilde\beta)=\boldsymbol 0\\ \hat X'y - \hat X'X\tilde\beta = \boldsymbol 0\\ \hat X'X\tilde\beta = \hat X' y\\ \tilde\beta = (\hat X'X)^{-1} \hat X'y $$ Verá que $\hat{X}$ es el $n\times 2$ matriz de $(\hat{y}_{2i}, x_{1i})$ . También es cierto que $\tilde\beta = (\hat{X}'\hat{X})^{-1} \hat{X}'y$ y las ecuaciones normales también se escriben como $\hat{X}' (y-\hat{X}\tilde\beta)=0$ . Las dos expresiones diferentes son idénticas porque $\hat{X}'X = \hat{X}'\hat{X}$ .
