Método de solución en Smith (2006) A Closed Form Solution to the Ramsey Model

Question

Estoy tratando de entender la forma en que Smith demuestra que la solución general de su ecuación (12) es (13) (ver página 6).

(12) \begin{eqnarray} \dot{z} &=& (1- \alpha)\left[1-\left(\delta + \frac{\bar{x}}{1+\bar{x}Ae^{\bar{x}t}}\right)z\right] \end{eqnarray}

En el Apéndice demuestro que la solución general de la ecuación (12) es:

(13) \begin{eqnarray} z &=& \frac{1}{\bar{x}+\delta} 2F1(1-\alpha,1,d;\omega)+B\bar{x}^{\alpha-1}e^{-(1-\alpha)(\bar{x}+\delta)t}(1+\bar{x}Ae^{\bar{x}t})^{1-\alpha} \end{eqnarray}

El apéndice: A.1 \begin{eqnarray} \dot{z} &=& -(1- \alpha)\left(\delta + \frac{\bar{x}}{1+\bar{x}Ae^{\bar{x}t}}\right)z \end{eqnarray} Esto se puede integrar para encontrar la solución complementaria:(A.2) \begin{eqnarray} z_c &=& \bar{x}^{\alpha-1}e^{-(1-\alpha)(\bar{x}+\delta)t}(1+\bar{x}Ae^{\bar{x}t})^{1-\alpha} \end{eqnarray}

Para encontrar la solución particular de la ecuación (12), utilizaré el método de variación de parámetros. Conjeturo que la solución particular es $z_p$ $=$ $z_c$$ \Psi $, where $ \Psi$ es una función desconocida del tiempo. Sustituyendo esta conjetura en la ecuación (12), se deduce que: (A.3) \begin{eqnarray} \dot{\Psi} &=& \frac{1-\alpha}{z_c} &=& (1-\alpha)\bar{x}^{1-\alpha}e^{(1-\alpha)(\bar{x}+\delta)t}(1+\bar{x}Ae^{\bar{x}t})^{\alpha-1} \end{eqnarray}

En primer lugar, ¿es entonces (A.2) sólo una versión integrada de (A.1) o hay otros pasos involucrados?

En segundo lugar, realmente no veo cómo ha sustituido la conjetura en 12 y cómo puede obtener (A.3) a partir de esta sustitución. Especialmente aquí estoy realmente perdido y me falta la imaginación de cómo se le ocurrió $\dot{\Psi}$ . ¿Sustituyó $z_p$ para $\dot{z}$ o $z$ en (12)?

Cita: [Smith, William. (2006). A Closed Form Solution to the Ramsey Model. Contribuciones a la Macroeconomía. 6.]

Answer 1

Resolvamos la ecuación diferencial (12).

Como primer paso, buscamos una ecuación diferencial "más sencilla", a saber (A.1). (A.1) puede escribirse $$\frac{\dot{z}}{z}=-(1-\alpha)\left(\delta+\frac{\bar{x}e^{-\bar{x}t}}{e^{-\bar{x}t}+\bar{x}A}\right)$$ En el lado izquierdo, se tiene la derivada de $\ln(z)$ . Se puede integrar para obtener la forma de cualquier solución $z_c$ : $$\ln(z_c)=-(1-\alpha)\left(\delta t-\ln(e^{-\bar{x}t}+\bar{x}A)\right)+ constant$$ Usted obtiene $z_c=\kappa e^{-(1-\alpha)\delta t}\left(e^{-\bar{x}t}+\bar{x}A\right)^{1-\alpha}$ , donde $\kappa$ es la exponencial de la constante de la ecuación anterior. Esta ecuación es equivalente a (A.2) para una constante particular, tal que $\kappa=\bar{x}^{\alpha-1}$ . Esta elección de la constante proviene de algunas condiciones de contorno sobre $z$ (lo que debería indicarse en el documento).

Como segundo paso, utilizamos el método de variación de parámetros, es decir, buscamos una solución de (12), $z_p$ que tiene una forma particular, $z_p=z_c.\Psi$ . Si encontramos una expresión para $\Psi$ entonces hemos encontrado una solución de (12). Sustituimos $z_p$ en (12): $$\dot{z_c}.\Psi+z_c.\dot{\Psi}=(1-\alpha)\left[1-\left(\delta+\frac{\bar{x}}{1+\bar{x}Ae^{\bar{x}t}}\right)z_c.\Psi\right]$$ Esta expresión se simplifica ya que $z_c$ satisface (A.1): $$z_c.\dot{\Psi}=(1-\alpha)$$ Esto es (A.3). Entonces, supongo que tenemos que encontrar una solución $\Psi$ de esta ecuación, y hemos terminado.