Extensiones de los equilibrios de Nash a juegos con estrategias infinitas

Question

En el libro de texto de Jehle y Reny (del que debo añadir que no he leído mucho más allá de algunas secciones de interés), se demuestra un teorema que afirma que siempre hay un equilibrio de Nash (mixto) en los juegos de forma estratégica finita. El libro supone que todos los jugadores tienen el mismo número de acciones disponibles, pero no es difícil imaginar cómo podría extenderse al caso en que esto no sea cierto.

Lo que me interesa, sin embargo, es saber si hay alguna extensión de esto a los juegos, especialmente a aquellos en los que puede haber infinitas opciones. Por ejemplo, está claro que no hay equilibrio en un juego en el que un jugador gana eligiendo el número más alto, pero si tenemos, por ejemplo, el mismo juego, pero donde el número debe ser en el intervalo $[0, 100]$ (o cualquier intervalo que contenga su límite superior), las funciones de mejor respuesta "convergen". Del mismo modo, también sospecharía que es necesario que las funciones de coste y demanda se comporten bien en los modelos de competencia para obtener "buenos" resultados.

Por ello, tengo dos preguntas:

1. ¿Existe algún tipo de escenario bien definido en el que un juego con infinitas opciones estratégicas tenga un equilibrio de Nash?

2. ¿Cuál sería la lectura relevante para esto?

Answer 1

Sí, existe esta configuración. El resultado es que

Si el espacio estratégico de cada jugador es

• convexo

• compacto

y si los pagos son continuos, entonces existe al menos un equilibrio de Nash (posiblemente en estrategias mixtas).

Esto se mantiene incluso cuando el conjunto de acciones posibles es incontablemente infinito. Si además se asume que los pagos son cuasicóncavos, entonces la correspondencia mejor respuesta será convexa incluso cuando restrinjamos la atención a las estrategias puras, por lo que se garantiza que tendremos al menos un equilibrio en estrategias puras en dicho juego.

Creo que la referencia original aquí es

• I.L. Glicksberg. " Otra generalización del punto fijo de Kakutani punto fijo de Kakutani, con aplicación a los puntos de equilibrio de Nash ." Actas de la Sociedad Matemática Americana , 3(1):170-174, 1952.

Sin embargo, el tratamiento del artículo de Glicksberg no parece muy accesible. Una buena referencia de partida es más bien la sección 1.3 de El libro de Fudenberg y Tirole "Teoría de los juegos" .

Answer 2

Mientras que la compacidad y la convexidad siguen siendo necesarias, la siguiente referencia trata de la existencia en juegos de espacio vectorial con ciertos tipos de discontinuidades.

• Reny, P. (1999) "On the existence of pure and mixed strategy Nash en juegos discontinuos", Econometrica 67, 1029-1056