Cómo relacionar la tasa real de rendimiento del capital con el tipo de interés de los bonos: Lagrangiano

Question

Supongamos que la ecuación de restricción de recursos del hogar es la siguiente $$P_tC_t + Q_tB_t+ P_tI_t \leq W_tL_t+R_tK_t+B_{t-1}+D_t$$ donde $P_t$ es el precio en el momento $t$ , $Q_t$ es el precio de una cantidad de bonos, $B_t$ es la cantidad de bonos, $I_t$ es la inversión, $W_t$ es el salario, $L_t$ es la cantidad de trabajo, $R_t$ es la tasa nominal de alquiler de capital, $K_t$ es el capital en empate $t$ , $D_t$ son los dividendos.

Llevándolo a la Lagrangiana en $t=0$ : $E_0 \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t U(C_t,L_t) - \lambda_t[P_tC_t + Q_tB_t+ P_tI_t - (W_tL_t+R_tK_t+B_{t-1}+D_t)]$

Tomando la derivada parcial de la lagrangiana respecto a $K_{t+1}$ donde $K_{t+1} = (1-\delta)K_t + I_t$ parece producir: $$\frac{\lambda_t}{\lambda_{t+1}} = \frac{R_{t+1}}{P_{t+1}}$$ (Se ha perdido la señal de expectativa, pero debería estar ahí)

Y tomando la derivada parcial de la lagrangiana respecto a $B_t$ :

$$\frac{\lambda_t}{\lambda_{t+1}} = \frac{P_t}{P_{t+1}}\frac{1}{Q_t}$$

Equiparando estos dos,

$$R_{t+1} = \frac{P_t}{Q_t}$$

Tomando $-\log Q_t = i_t$

$$\hat{R_{t+1}} = \hat{P_t} - \hat{Q_t} = \hat{P_t}+i_t$$ donde $\hat{X} = \log X$ .

Esto no me parece una fórmula correcta, y debo haber cometido algún error. ¿Qué he hecho mal aquí?

Answer 1

Ignorando el operador de expectativas, tu lagrangeano tiene dos errores: primero, la restricción es por periodo, por lo que también se multiplica por el factor de descuento. En segundo lugar, la forma en que has escrito los índices temporales es incoherente, en cuanto a su interpretación para el capital y los bonos. Si $K_t$ denota el "capital al principio del período $t$ " (como es el caso), también debe escribir $B_{t}$ en lugar de $B_{t-1}$ para denotar los bonos que se tienen al principio del periodo $t$ . Esto lleva consigo también el índice de tiempo en $Q$ .

También te aconsejaría escribir tu restricción en "forma normal" (como dicen en micro), es decir, con la restricción como "mayor o igual a cero".

Intentemos esto, hasta cierto punto.

$$\Lambda = \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t \Big[U(C_t,L_t) + \lambda_t\big(W_tL_t+R_tK_t+B_{t}+D_t - (P_tC_t + Q_{t+1}B_{t+1}+ P_tI_t)\big)\Big]$$

$$ = \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t \Big[U(C_t,L_t)\\ + \lambda_t\big(W_tL_t+R_tK_t+B_{t}+D_t - P_tC_t - Q_{t+1}B_{t+1}- P_t\big[K_{t+1} - (1-\delta)K_t\big]\big)\Big]$$

Entonces

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial K_{t+1}} = 0 \implies -\beta^{t}\lambda_t P_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}[(1-\delta)P_{t+1} +R_{t+1}] =0$$

y

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial B_{t+1}} = 0 \implies -\beta^{t}\lambda_t Q_{t+1} + \beta^{t+1}\lambda_{t+1} =0$$

Igualando obtenemos

$$\frac {[(1-\delta)P_{t+1} +R_{t+1}]}{P_t} = \frac 1{Q_{t+1}}$$

Ahora, $R_{t+1}$ es el nominal rendimiento bruto del capital, por lo que un $P_{t+1}$ está implícito. Si ponemos $r_{t+1}\equiv R_{t+1}/P_{t+1}$ la relación se convierte en

$$\frac {[(1+(r_{t+1} -\delta)]P_{t+1}}{P_t} = \frac 1{Q_{t+1}}$$

Tomando los logaritmos, obtenemos la ecuación de Fisher escrita para el periodo $t+1$ .