Diferencia entre el precio y el valor en los contratos a plazo y en los futuros

Question

Considere un contrato a plazo y de futuros sobre un bono de cupón cero.

Denota el tiempo $t$ precio a plazo (contrato) en un $T_2$ -bono de cupón cero con fecha de entrega $T_1$ como $F(t,T_1:T_2).$

Del mismo modo, denota el tiempo $t$ precio de los futuros (contrato) en un $T_2$ -bono de cupón cero con fecha de entrega $T_1$ como $G(t,T_1:T_2).$

Estoy un poco confundido con respecto a la terminología asociada a estos contratos.

Según tengo entendido:

(1) Precio a plazo es el precio preestablecido al que compro el bono de cupón cero subyacente en la fecha de entrega, $T_1$ y esto es similar al precios de los futuros .

(2) El pago de contrato a plazo es: $p(T_1,T_2)-F(t,T_1:T_2),$ donde $p(t,T)$ es el tiempo- $t$ bono de cupón cero que vence a $T$ . Esto es similar al caso de los futuros, excepto que se marca el mercado todos los días.

Mis preguntas son:

(A) ¿Cambia el precio de los futuros y a plazo con el tiempo? $t$ a medida que avanzamos hacia $\{t+1,t+2,...\}$ ? Tengo entendido que el pequeño $t$ equivale a cuando el contrato fue escrito que tomo como $F(t,T_1:T_2)$ y $F(t+1,T_1:T_2)$ ¿son dos contratos a plazo distintos?

(B) Mi entendimiento del valor del contrato es igual al pago de ese contrato, así que para adelante sería:

$$V_F(t,T_1,T_2)=p(T_1,T_2)-F(t,T_1:T_2)$$

Evidentemente, el valor del contrato a plazo depende del momento en que se suscribió y del vencimiento del subyacente, la fecha de entrega del contrato. Pero cuando nos fijamos en un contrato concreto, estamos fijando el pequeño $t$ En efecto, lo que implica que el valor de cualquier contrato a plazo particular depende del cambio en la fecha de entrega y de vencimiento del subyacente:

$$V_F(\bar t,T_1,T_2)=V_F(T_1,T_2)=p(T_1,T_2)-F(\bar t,T_1:T_2)$$

(C) Me confunde cuando se hace el mark-to-market con el contrato de futuros. Considere el intervalo de tiempo $[t,t+1]$ . En $t+1$ El contrato de futuros se ajusta al mercado en el siguiente sentido:

$$G(t+1,T_1:T_2)-G(t+1,T_1:T_2).$$

Mi confusión es si está marcando el mercado del contrato futuro escrito en $t$ con otro contrato de futuros con el mismo subyacente y la misma fecha de entrega pero escrito en $t+1$ ? Pero esto no cambia el precio de los "futuros" de su contrato original, sino que sólo genera un flujo de caja positivo o negativo para su cartera, ¿verdad? ¿Es correcta esta distinción? Porque la retribución del contrato de futuros es exactamente similar a la del contrato a plazo, que es :

$$V_G(t,T_1,T_2)=p(T_1,T_2)-G(t,T_1:T_2)$$

Lo anterior indica que se está comparando el precio de la fecha de entrega del subyacente menos los precios originales de los futuros, por lo que la valoración del contrato de futuros suscrito en $t$ es sobre el precio de los futuros en $t$ . Pero mi principal confusión es que el Flujos de caja generado a lo largo del proceso de mark-to-market en los futuros es que todos los días se comparan los precios de los futuros del día anterior y de hoy de algún índice $[t_j,t_j+1]$ , donde $t_0=t$ , $t_j\not=t$ para $j>0$ Por lo tanto, estoy confundido porque estamos obteniendo flujos de efectivo de un contrato de futuros efectivamente distinto.

Answer 1

$\text{(A)}$ Exacto, usted escribe su contrato a plazo en $t$ por lo que después se puede pensar en el precio de entrega (o a plazo) $F(t,T_1:T_2)$ como una cantidad fija. El índice de tiempo $t$ está ahí para representar el hecho de que mañana, pasado, etc., no podrá suscribir un nuevo contrato a plazo con el mismo precio de entrega: el precio a plazo evoluciona en el mercado. Así que $F(t+1,T_1:T_2)$ es un precio para un contrato diferente al del precio de entrega $F(t,T_1:T_2)$ . De nuevo, una vez que has redactado un contrato, el precio de entrega está bloqueado.

$\text{(B)}$ No olvides que tienes que descontar para obtener el valor del contrato. Un bono de cupón cero puede representarse como (suponemos tipos deterministas para simplificar): $$p(T_1,T_2)=e^{-r(T_2-T_1)}$$ Si $D(t,T_1)$ es su factor de descuento (igual a los bonos de cupón cero cuando los tipos son deterministas): $$D(s,T_1)=e^{-r(T_1-s)}$$ puede tratar su precio a plazo $F(t,T_1:T_2)$ como una cantidad fija $K$ por lo que el valor del contrato en $s \in[t,T_1]$ es: $$\begin{align} D(s,T_1)(p(T_1,T_2)-K)&=p(s,T_2)-D(s,T_1)K \\ &=p(s,T_2)-D(s,T_1)F(t,T_1:T_2) \end{align}$$

$\text{(C)}$ Deje que su precio de los futuros sea $G(t,T_1:T_2)$ . La diferencia con un forward es que el valor de mercado de su contrato se liquida diariamente: en un forward usted recibe todo el valor al final del contrato, en un futuro lo va recibiendo poco a poco, cada día. Al final de cada día, el futuro te paga: $$G(s+1,T_1:T_2)-G(s,T_1:T_2)$$ Por lo tanto, al final del contrato, suponiendo que $n$ días entre $t$ y $T_1$ con $s_0=t$ y $s_n=T_1$ : $$\begin{align} \sum_{i=0}^{n-1}(G(s_{i+1},T_1:T_2)-G(s_i,T_1:T_2)) &=\sum_{i=1}^{n}G(s_{i},T_1:T_2)-\sum_{i=0}^{n-1}G(s_{i},T_1:T_2) \\ &=G(T_1,T_1:T_2)-G(t,T_1:T_2) \\[8pt] &=p(T_1,T_2)-G(t,T_1:T_2) \end{align}$$