Considere un modelo de árbol binomial de un paso para el precio de las acciones. La configuración clásica es la siguiente:
En el momento $t=0$ el precio de las acciones es $S_0$ .
En el momento $t=1$ la acción tiene una probabilidad $p$ para subir de precio $S_1^u = uS_0$ (definir $u:=S_1^u/S_0$ ); y la probabilidad $q=1-p$ para bajar el precio $S_1^d = dS_0$ (definir $d:=S_1^d/S_0$ ).
Sea el tipo de interés libre de riesgo $r$ . Normalmente, $1+r < pu + qd$ Así que $$\frac{1}{1+r} \mathbb{E}[S_1] = \frac{pu+qd}{1+r}S_0 > S_0$$ o, en el momento $0$ las acciones cotizan como $S_0$ inferior al valor descontado de la expectativa del precio de las acciones en el momento $1$ .
Ahora, mi pregunta es , podemos interpretar la subcotización del precio de las acciones, $\frac{1}{1+r} \mathbb{E}[S_1] - S_0$ como la prima de riesgo, o el coste debido a las incertidumbres?
Si es así, ¿hay alguna fórmula relacionada? Por ejemplo, una ecuación que relacione el precio de las acciones y su volatilidad $\sigma$ ?
Ps. en el mundo neutral al riesgo, las probabilidades son $\tilde p=\frac{1+r-d}{u-d}$ y $\tilde q = 1-\tilde p=\frac{u-1-r}{u-d}$ y tenemos $S_0 = \frac{1}{1+r} (\tilde p S_1^u + \tilde q S_1^d) = \mathbb{\tilde E}\left[\frac{S_1}{1+r}\right]$ En otras palabras, el precio de las acciones $S_t$ es una martingala, bajo el numerario $(1+r)$ y la medida neutral de riesgo. Todo esto es inteligente y clásico, pero no está relacionado con mi pregunta.
