¿Es el Libor una martingala bajo la medida T-forward?

Question

Denotamos discount factor $D(t)$ y zero coupon bond $B(t,T)$ como: $$B(t,T) =\dfrac{1}{D(t)} E_t[D(T)]$$ aquí $E_t[X] = E[X|\mathcal{F}(t)].$

Y definimos

Zero curve $Z(t,T)$ $$B(t, T)\cdot e^{Z(t,T)(T-t)} = 1$$

Libor $L(t,T)$ $$B(t, T)\cdot (1 + (T-t) L(t, T)) = 1.$$ Denote $E^{T}[\ ]$ el $T$ -Medida de avance, es decir, uso $B(t,T)$ como numerario.

Recuerdo que el Libor y la curva cero deberían ser martingale bajo la $T$ -medida de avance. Pero vemos las representaciones, de forma equivalente $\dfrac{1}{B(t,T)}$ debe ser martingala bajo la $T$ -adelante. Esta es la $T$ -Precio a plazo de $1,$ pero el valor descontado de $1$ no es martingala bajo la medida original, es decir $$E_t[D(T)\cdot 1] \neq D(t)\cdot1.$$ Podemos ver que la tasa de avance $$B(t,T-\delta) = (1 + (T-t)F(t,T-\delta,T))B(t,T)$$ es realmente $T$ -martingala hacia adelante, ya que $\frac{B(t,T-\delta)}{B(t,T)}$ es $T$ -martingala hacia delante, o lo que es lo mismo $D(t)B(t,T-\delta)$ es martingala bajo la medida original. Por lo tanto, estoy realmente confundido aquí. ¿Puede alguien decir dónde está el error?

Answer 1

Su definición de Libor no es válida ya que hace que cubra el periodo $t, T$ .

Un Libor con tenor $\delta$ que se fija en $T$ (o para ser exactos normalmente 2 días antes $T$ ) cubre el período $T, T+\delta$ . Así, el tipo Libor a plazo $L(t, T, T+\delta)$ se calcula como $$ B(t, T+\delta) (1 + \delta L(t, T, T+\delta)) = B(t, T) $$ por lo que $$ L(t, T, T+\delta) = \frac{1}{\delta}\left(\frac{B(t, T) }{B(t, T+\delta)} -1 \right) $$ es una martingala bajo la $T+\delta$ medida de avance.