¿Cómo utilizar la fórmula de Itô para deducir que un proceso estocástico es una martingala?

Question

Estoy revisando diferentes libros sobre matemáticas financieras y resolviendo algunos problemas que se me atascan.

Supongamos que se define un proceso estocástico arbitrario, por ejemplo

$ X_t := W_t^8-8t $ donde $ W_t $ es un movimiento browniano.

La pregunta es, ¿cómo podría deducir que este proceso estocástico es una martingala o no utilizando la fórmula de Itô?

Lo único que sé es:

Observando la integral estocástica $ \int K dM $ donde $ M=\{M_t\} $ es una martingala, que es continua por la derecha con límite por la izquierda, nula en $0$ y satisface $ sup_t E[M_t] < \infty$ y $ K $ un proceso estocástico acotado y predecible, entonces $ \int K dM $ también es una martingala.

Pero no estoy seguro de que esto sea útil en esta situación. Se agradecería un ejemplo de cómo resolver este tipo de problemas.

Para estar seguro, expongo la fórmula de Itô que conozco hasta ahora.

Dejemos que $\{X_t\}$ a general $ \mathbb{R}^n $ valorado semimartingale y $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ tal que $ f\in C^2 $ . Entonces $ \{f(X_t)\} $ es de nuevo un semimartingale y obtenemos la fórmula de Itô (en forma diferencial):

$$ df(X_t) = \sum_{i=1}^n f_{x_i}(X_t)dX_{t,i} + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n f_{x_i,x_j}(X_t)d\langle X_i,X_j\rangle_t$$

Answer 1

En general, si usted tiene un proceso que puede escribir bajo la forma $F(B_t,t)$ donde $F$ es $\mathcal{C}^{2,1}$ entonces el lema de Itô te da el término de deriva y el término de difusión de $dF$ . Entonces, si la SDE resultante tiene una deriva nula (de ahí viene la PDE de Black Scholes), y se obtiene una única martingala local . Para que sea un martingala adecuada puedes mirar teorema 1 .

Pero tiene condiciones suficientes más fáciles, en particular si sólo necesita la propiedad de martingala sobre intervalos de tiempo finitos. Esas condiciones son sobre la integrabilidad del proceso de variación cuadrática, pero como no las recuerdo exactamente, no intentaré derivarlas aquí. Deben aparecer en cualquier libro sobre integración estocástica con respecto al movimiento browniano.

Saludos cordiales

Answer 2

Para los procesos de Itô $dX(t) = \mu(t) \mathrm{d}t + \sigma(t) \mathrm{d}W(t)$ se tiene el resultado de que (bajo supuestos apropiados que aseguran que la martingala local es una martingala, por ejemplo $E( (\int \sigma(t)^2 \mathrm{d}t )^{1/2} ) < \infty$ etc.): $X$ es una martingala $\Leftrightarrow$ $\mu(t) = 0$ .

Así que para comprobar si un proceso $X$ es una martingala utiliza Itô para obtener su " $\mathrm{d}X = \ldots$ -representación" y comprobar el coeficiente de $dt$ en cero.

(Creo que el resultado exacto puede encontrarse en Øksendal, Bernt K.: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications)

Answer 3

Sugerencia

Dejemos que $\,H_0(x,t)=1$ , $H_1(x,t)=x$ y para cada $n\ge 2$ set $${{H}_{n}}(x,t)=x {{H}_{n -1}}(x,t)-(n-1)\,t\,{{H}_{n-2}}(x,t)$$ entonces ${{H}_{n }}(W_t ,t)$ es una Martingala. Por ejemplo $$H_1(W_t,t)=W_t$$ $$\qquad H_2(W_t,t)=W_t^2-t$$ $$\qquad\qquad H_3(W_t,t)=W_t^3-3tW_t$$ $$\vdots $$

Answer 4

De forma bastante simple y general, cuando se toma la diferencial estocástica de un proceso y no se obtiene ningún término de deriva sino simplemente una integral de ito, entonces este proceso es una martingala. De memoria, así es como se recuperan algunas ecuaciones pde cuyas soluciones conducen a la martingala (tomar la diferencial, mirar el término de diferencial parcial dt, luego buscar la solución que daría un término dt evanescente)