Problema de la heurística del valor actual

Question

No tengo ni idea de si este es el stackexchange adecuado para esto, ¡siéntete libre de indicarme otro lugar!

Estoy enseñando cálculo empresarial y uno de los problemas que tienen los alumnos es calcular el valor actual de un flujo de ingresos continuo $\$$$A$ al año ganando $r$ tipo de interés. La integral llega a $$P.V=A\int_0^te^{-rz}dz=\frac A {-r}(e^{-rt}-1)$$ He observado como heurístico que para valores relativamente cortos de t ( $t<10$ ) y valores pequeños de r ( $r<.04$ ) (los parámetros que utiliza el software de aprendizaje), el valor actual viene a ser un poco menos que $A\cdot t$ . (por lo general dentro de alrededor de 10 por ciento) ¿Alguien sabe una economía racional por qué este es el caso, y se mantendría para los valores más grandes de $r$ o $t$ ?

Answer 1

Intuición

Bueno, cuando $r$ es cero, sólo se obtiene el valor $A$ por unidad de tiempo, por lo que el valor actual total será $A \cdot t$ .

La aproximación

Usted pregunta por la aproximación $$\frac A {-r}(e^{-rt}-1) \approx A \cdot t.$$ Esto equivale a $$\frac 1{rt}(1-e^{-rt}) \approx 1,$$ lo que es cierto para los pequeños $rt$ valores. Esto se puede ver tomando el límite del lado izquierdo y utilizando la regla de L'Hospital. $$\lim_{rt \to 0} \frac{\frac{\text{d} (1 - e^{-rt})}{\text{d} rt}}{\frac{\text{d} rt}{\text{d} rt}} = \lim_{rt \to 0} \frac{e^{-rt}}{1} = 1.$$

La aproximación en otra forma

La aproximación $$1-e^{-h} \approx h$$ parece ser una variante de la aproximación más conocida $$\ln(1+h) \approx h$$ para valores pequeños de $h$ .

¿Qué tan buena es esta aproximación?

Para tener una idea del término de error para valores grandes utilizando su aproximación, puede utilizar Aproximación de Taylor para la función $$f(x) = \frac{1-e^{-x}}{x}$$ partiendo de unos pequeños $x$ valor.