Lemma de Ito para el proceso de Poisson

Question

Soy nuevo en el cálculo estocástico sobre procesos de salto y he encontrado una dificultad. Agradecería alguna aclaración de la comunidad sobre la siguiente pregunta.

Dejemos que $g_t$ ser un $\mathcal{F_t}$ -proceso adaptado en el que $\mathcal{F_t}$ es la filtración natural generada por un proceso de Poisson $N_t$ .

Definir la integral estocástica $Y_t$ como $$Y_t = \int_0^t g_{s^{-}} d\hat{N_s}$$ donde $\hat{N_t} = N_t - \lambda t$ es el proceso de Poisson compensado.

Supongamos que $Z_t = f(t,Y_t)$ es una vez diferenciable en $t$ entonces el Fórmula de Ito para el proceso de Poisson es \begin{equation}dZ_t = \bigg\{\partial_t f(t,Y_t) + \lambda \Big(\big[f(t, Y_{t^{-}} + g_{t^{-}}) - f(t,Y_{t^{-}})\big] - g_t \partial_y f(t,Y_t) \Big) \bigg\}dt + \bigg[ f(t,Y_{t^{-}} + g_{t^{-}}) - f(t, Y_{t^{-}}) \bigg]d\hat{N_t} \end{equation}

así que mi pregunta es por qué entonces tenemos, por la fórmula de Ito, \begin{equation} H(\tau, N_\tau) = H(t,N_t) + \int_t^\tau (\partial_t + \mathcal{L}_s)H(s, N_s)ds + \int_t^\tau \left[ H(s, N_{s^{-}} + 1) - H(s,N_{s^{-}})\right]d\hat{N_s} \end{equation} donde $\mathcal{L_t}{H(t,n)} = \lambda(t,n,u) \left[ H(t,n+1) - H(t,n)\right]$ ? Toma $N_t = n$ .

¿Por qué el $-g_t \partial_y{H(t, N_t)}$ ¿desaparece el término? Creo que $Y_t = \int_0^t 1 d\hat{N_s} = \hat{N_t}$ así que $-g_t \partial_y{H(t, N_t)} = -\partial_{\hat{N_t}} H(t,N_t) = 0$ ? ¿No es así? $\partial_\hat{N_t} H(t,N_t) = \partial_{N_t} H(t,N_t)$ ¿en su lugar?

Gracias

Answer 1

Lo básico Fórmula Ito para un proceso de Poisson es $$ dY_t = \mu_t dt + g_t dN_t $$

$$ df(Y_t) = \mu_t f'(Y_t) dt + (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))dN_t $$

(se ha dejado caer $f$ para evitar el desorden de las derivadas parciales).

Caso $\mu_t = -\lambda g_t$ (este es su caso original):

$$ df(Y_t) = -\lambda g_t f'(Y_t) dt+ (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))dN_t $$

$$ = \lambda [(f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-})) - g_t f'(Y_t)]dt + (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))d\hat{N}_t $$

Caso $\mu_t = 0$ (aquí $gf'$ desaparece):

$$ df(Y_t) = (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))dN_t $$

$$ = \lambda (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-})) dt + (f(Y_{t-}+g_t) - f(Y_{t-}))d\hat{N}_t $$

Caso $\mu_t = 0, g_t =1$ (este es el caso misterioso, donde $Y_t=N_t$ ):

$$ df(N_t) = (f(N_{t-}+1) - f(N_{t-}))dN_t $$

$$ = \lambda (f(N_{t-}+1) - f(N_{t-})) dt + (f(N_{t-}+1) - f(N_{t-}))d\hat{N}_t $$