PREGUNTA: Además del esquema de Euler, ¿hay alguna otra forma más robusta (y preferiblemente fácil de implementar) de simular la trayectoria de los activos con la dinámica de SABR? Una simulación que resista incluso para volatilidades altas.
El método del que hablo se presenta aquí:
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.296.732&rep=rep1&type=pdf (diapositiva 12: simulación Monte Carlo de SABR)
PROBLEMA: (Puede saltarse esto)
$\alpha=0.15$ , $\beta=0.5$ , $\rho = -0.6$ , $v=2.5$ . $v$ es el parámetro vol-of-vol.
He implementado este método para simular desde SABR: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.296.732&rep=rep1&type=pdf (diapositiva 12: simulación Monte Carlo de SABR)
Con la fórmula original de Hagans puedo calcular la volatilidad implícita para $$T=2,f_o=spot=100, K=strike=95$$ $IV_{SABR}=0.07786$ . Poniendo esto en un foro de precios de compra de Black Scholes (con tipo de interés cero) obtenemos $$C_{BS}(f_0,K,T,r=0, _{})=7.2364$$ Utilicemos esto como nuestro referencia .
$$C_{BS}(f_0,K,T,r=0, _{})=E^{Q^*}_0[(f_T-K)^+]$$ donde bajo $Q^*$ , $f$ tiene la dinámica SABR $\left(df_t=\sigma_tf_T^\beta dW_t,d\sigma_t= v\sigma_t dV_t.... \text{ etc} \right)$ .
Cuando ejecuto la simulación con el paso de tiempo $dt=0.001$ y $n=10000$ simulaciones, tomar el valor medio para estimar $E^{Q^*}_0[(f_T-K)^+]$ Me sale $$5.5637$$ que está muy lejos de la referencia de 7,2. Por lo tanto, este método no es ideal con estos parámetros. He intentado aumentar el número de simulaciones y disminuir el paso de tiempo.
En general, con una alta volatilidad $\alpha,v$ entonces este método no es un buen esquema de simulación. Cuando $\alpha,v$ es bajo, entonces no hay problema.
