Frontera de Posibilidad de Utilidad con dos consumidores y 3 productos básicos

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Consideremos una economía de intercambio puro con tres productos y dos hogares con dotaciones individuales:

$$e_1=(1,2,3), e_2=(3,2,1),$$

respectivamente, y las funciones de utilidad

$$u_1(x_{11},x_{12},x_{13})=x_{11}+2x_{12}+3x_{13}$$ y $$u_2(x_{21},x_{22},x_{23})=3x_{21}+2x_{22}+x_{23}$$ respectivamente.

¿Cuál de las siguientes es la Frontera de Posibilidad de Utilidad? Las opciones:

A. $\displaystyle \max\left\{ u_1+\frac{u_2}{2}, u_1 + u_2, \frac{u_1}{2} +u_2 \right\} = 32$

B. $ \displaystyle \max\left\{ u_1+\frac{u_2}{3}, \frac{3}{4} u_1 + \frac{3}{4} u_2, \frac{u_1}{3} +u_2 \right\} = 24$

C. $\displaystyle \max\left\{ u_1+\frac{u_2}{3}, u_1 + u_2, \frac{u_1}{3} +u_2 \right\} = 24$

D. Ninguna de las anteriores

Mi intento:

He intentado calcular las asignaciones óptimas de Pareto tomando dos productos básicos a la vez. Descubrí que entre los bienes $1$ y bueno $2$ las asignaciones eficientes de Pareto son donde: $$x_{21}= 4 \quad \text{or} \quad x_{12} = 4$$

Del mismo modo, entre los buenos $2$ y bueno $3$ me parece que..:

$$x_{22}= 4 \quad \text{or} \quad x_{13} = 4$$ son óptimos de Pareto.

Del mismo modo, entre los buenos $1$ y bueno $3$ me parece que..:

$$x_{21}= 4 \quad \text{or} \quad x_{13} = 4$$ son óptimos de Pareto.

También observo que las preferencias entre los buenos $1$ , bueno $2$ y bueno $3$ del individuo 1 son:

$$ \text{good } 3 > \text{good } 2 > \text{good } 1 $$

Y las de los individuos $2$ son:

$$ \text{good } 1 > \text{good } 2 > \text{good } 3 $$

Ahora considero las siguientes asignaciones:

$$((x_{11},x_{12},4), (x_{21},x_{22},0))$$

Y el hecho de que $$x_{11} + x_{21} = 4$$ $$x_{12} + x_{22} = 4$$

Me parece que:

$$u_1 = x_{11}+2x_{12}+3x_{13} = x_{11}+2x_{12} + 12$$

$$u_2 = 3x_{21}+2x_{22}+x_{23} = 3x_{21}+2x_{22}$$

$$\implies u_1 + u_2 /3 = 16 + 2x_{12} + 2/3 x_{22}$$ $$\implies u_1 + u_2 /3 = 16 + 2/3(3x_{12} + x_{22})$$ $$\implies u_1 + u_2 /3 = 16 + 2/3(2x_{12} + 4)$$

$$\implies u_1 + u_2 /3 \le 24 $$ porque $x_{12} \le 4$ .

Del mismo modo, considero la asignación:

$$((0,x_{12},x_{13}), (4,x_{22}, x_{23}))$$

Y encontrar eso:

$$ u_1 /3 + u_2 \le 24 $$

Estoy atascado aquí. No soy capaz de ver cómo puedo llevarlo de a las opciones dadas. Por favor, déjenme saber cómo puedo hacerlo.

Gracias por leer esto.

Answer 1

La frontera de posibilidades de utilidad (UPF) traza la máxima combinación total de utilidades que se puede alcanzar, dadas las preferencias y los recursos totales. Para fijar las ideas, supongamos que trazamos $u_1$ en el $y$ coordinar y $u_2$ en el $x$ coordenadas. La forma más fácil de encontrar el UPF es comenzar con un solo agente, digamos el agente 1 y darle todos los recursos, por lo que la asignación $(4,4,4)$ su utilidad será de 24, así que ese punto, $(0,24)$ en el plano es definitivamente parte de la UPF (por cierto este cálculo ya excluye la opción $a$ ). Ahora, piense que va a disminuir el agente $1$ con el fin de aumentar la utilidad del agente $2$ de la utilidad. Como estamos caracterizando la frontera, se quiere pensar cuál es la mejor manera de mover algunos recursos del jugador $1$ al jugador $2$ . Después de pensarlo un poco, es obvio que lo mejor es quitarle algo de buen $1$ del jugador $1$ ya que sólo pierde $1$ mientras que el otro jugador gana $3$ utilidades. Por lo tanto, el punto $(3,23)$ también forma parte del $UPF$ Obsérvese que la línea que une estos dos puntos es $u_1+\frac{u_2}{3}=24$ (lamentablemente, esta realización no reduce las posibles respuestas, ya que $b$ y $c$ comparten esta ecuación como primer argumento).

Ahora bien, este punto se encontró al trasladar el bien 1 del agente 1 al agente 2, sin embargo, sólo hay 4 unidades de este tipo, por lo que después de que el agente 2 tenga todas las unidades del bien 1, para seguir aumentando su utilidad, la transferencia más eficiente es quitarle al agente 1 algunas de las unidades del bien 2 que disfruta. Aquí las pérdidas del agente 1 son iguales a las ganancias del agente 2, por lo que deberíamos tener esto definido por una línea con coeficientes iguales: $\alpha u_1+\alpha u_2=C$ Ambas opciones tienen este formato, por lo que sólo tenemos que asegurarnos de cuál es la correcta dado que la constante es 24.

Tenga en cuenta que el punto donde $x_1=(0,4,4)$ y $x_2=(4,0,0)$ es parte de esta línea y si calculamos $u_1(0,4,4)+u_2(4,0,0)=32\neq 24$ pero $\frac34 u_1(0,4,4)+\frac 34u_2(4,0,0)=24$ como se desee. Se puede concluir que la respuesta es $b$ .

El $\max$ garantiza que el gráfico tenga los puntos de "torsión" correctos cuando cambia el tipo de bien que se transfiere de un agente a otro.