Condición de primer orden para la maximización de beneficios en el sector del juego

Question

Estoy trabajando en un modelo de porcentajes de pago óptimos en la industria del juego.

Porque el precio nominal de un \$1 ticket is always \$ 1, utilizamos una estrategia de precio efectivo donde Q = \$1 in won prizes. If a game pays out 50%, the effective price is \$ 2, ya que eso es lo que habría que gastar para ganar un 1$ esperado en premios. Bastante sencillo, ¿verdad?

Bueno, me encontré con esta nota a pie de página en alguna investigación, y no puedo entender cómo llegaron a la condición de primer orden para la maximización de beneficios a partir de la primera ecuación:

"Dejemos $C(Q)$ representan los costes de explotación en función de las unidades de cantidad, donde una unidad de cantidad se define como un dólar en valor esperado de los premios.

Los beneficios netos de la agencia de lotería vienen dados por

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

donde $P$ es el precio cobrado por una unidad de cantidad.

La condición de primer orden para la maximización del beneficio se puede escribir

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1] $$

Si los costes marginales de explotación son $6$ por ciento de las ventas y la tasa de pago es $50$ por ciento, tenemos $P = 2$ y $C' = .12$ lo que implica que la elasticidad del precio de la demanda al máximo beneficio es $-2.3$ .

Para que un aumento de la tasa de pago aumente los beneficios, $E_{PQ}$ debe superar $2.3$ en valor absoluto".

- [Cita] Clotfelter, Charles T, y Philip J Cook. "Sobre la economía de las loterías estatales". Journal of Economic Perspectives: 105-19.

En la ecuación FOC, $-E_{PQ}$ es la elasticidad precio efectiva de la demanda. Normalmente se calcula tomando la derivada de $P$ con respecto a $Q$ en la primera ecuación.

¿Cómo acabaron donde lo hicieron? Tiene que haber algo que se me escapa.

Me cuesta entender cómo se ha llegado a esa condición de primer orden, si es el resultado de algún proceso de derivación en la ecuación de los ingresos netos, o si es simplemente una condición externa que se aplica.

Gracias.

Answer 1

La expresión en cuestión se encuentra en la nota a pie de página $11$ del artículo de referencia. Leyendo el artículo, vemos que la variable de decisión aquí es "la tasa de pago", que es el recíproco de $P$ . Así que, de forma equivalente, podemos resolver el problema de maximización con respecto a $P$ (y no con respecto a $Q$ ). Además, la "elasticidad precio de la demanda" implica la derivada de $Q$ con respecto a $P$ y no al revés:

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P $$

y esperamos que sea negativo (un precio más alto significa una tasa de pago más baja que lleva a una menor demanda de la medida de cantidad aquí, es decir, menos "demanda de premios").

Podemos escribir el problema de maximización como $$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

La condición de primer orden es

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

Multiplique todo por $P/Q$ :

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

Esto tiene sentido. Introduciendo los valores presentados en la referencia, tenemos

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27 $$

que está muy cerca del valor resultante de la ecuación presentada por los autores. No he sido capaz, por las manipulaciones algebraicas que he intentado, de replicar su fórmula, pero la ecuación $(2)$ es correcto en cualquier caso. Si surge una conciliación, actualizaré.