Precio de la opción de inicio anticipado con PDE

Question

Estoy buscando referencias (libros y documentos) o sugerencias sobre cómo fijar el precio de las llamadas de salida a plazo utilizando un enfoque de PDE típicamente en el modelo de Heston (En el mundo de BS, el cálculo es trivial), con el pago a plazo $$\left(\frac{S_{t+\tau}}{S_t}-K\right)^{+},$$ donde $t$ y $\tau$ son números positivos.

Me parece que la única manera de utilizar un enfoque de PDE sería identificar la solución fundamental de la PDE para poder aplicar la propiedad de la torre en la expectativa del resultado.

Todo lo que he leído hasta ahora se centra en el cálculo de la función característica, y el enfoque de martingala.

Answer 1

Se introduce una variable auxiliar discretizada que representa $S_t$ para resolver $N$ PDEs en $[t, t+\tau]$ utilizando diferencias finitas que le darán el valor actual de la opción en el momento $t$ con la condición de $S_t$ . Entonces se resuelve una EDP mediante diferencias finitas en $[0, t]$ para obtener el valor actual en el momento $0$ .

Se trata de la misma metodología que se utiliza para fijar el precio de las opciones dependientes de la trayectoria utilizando diferencias finitas. La idea general es transformar un problema no markoviano en un problema markoviano de mayor dimensión añadiendo variables auxiliares que capturen el pasado.

Answer 2

Aquí hay un enfoque que es fácil de codificar ( pero FAR del más rápido ). Sea $ f(T,S,v,K) $ denotan el precio de una opción de compra europea en el modelo Heston con tiempo de vencimiento $T$ Precio inicial $S$ , la volatilidad inicial $v$ , huelga $K$ . Primero, usamos la propiedad de la torre para transformar el problema de precios: \begin{align*} V_{0} & =\mathbb{E}\left[e^{-r\left(t+\tau\right)}\left(S_{t+\tau}/S_{t}-K\right)^{+}\right]\\ & =\mathbb{E}\left[\frac{e^{-rt}}{S_{t}}\mathbb{E}\left[e^{-r\tau}\left(S_{t+\tau}-KS_{t}\right)^{+}\mid\mathcal{F}_{t}\right]\right]\\ & =\mathbb{E}\left[\frac{e^{-rt}}{S_{t}}f(\tau,S_{t},v_{t},KS_{t})\right]. \end{align*} Ahora realice una simulación de Monte-Carlo para aproximar lo anterior (la ventaja aquí es que puede utilizar los procedimientos existentes para calcular $f$ ).