¿Por qué es más preciso simular ln(S) que S?

Question

Tomemos un proceso $S$ que satisface: \begin{equation} dS = \mu S dt + \sigma S dz \end{equation} con $dz$ un proceso Wiener, $\sigma$ la volatilidad de $S$ , $\mu$ el rendimiento esperado de $S$ .

A partir del lema de Ito, tenemos que el proceso verificado por $ln(S)$ es: \begin{equation} d(ln (S)) = (\mu - \sigma^2/2)dt + \sigma dz \end{equation}

¿Por qué es más preciso utilizar la segunda ecuación para simular una trayectoria para S en lugar de la primera?

Answer 1

La especificación de $ln(S)$ se basa en el supuesto explícito de que los precios de los valores y los tipos de interés no pueden bajar de cero.

Y para el comportamiento de los valores, está bien establecido a través de la investigación empírica que el precio absoluto de los valores crece a un ritmo exponencial y no a un ritmo absoluto.... es decir, después de $T$ años, el precio del valor tiende a ser $S(0)e^{r_fT}$ , en lugar de $S(0)\cdot(1 + r_tT)$ .

Desde la crisis financiera, este supuesto para la financiación de los tipos de interés ha demostrado ser falso, y existen múltiples modelos en los que el $S$ se modela en lugar de $ln(S)$ .