Ayuda para entender una pregunta de distribución normal/probabilidad

Question

¿Podría alguien ayudarme a traducir lo que dice la página P15, sección 4.2?

http://www.ntuzov.com/Nik_Site/Niks_files/Research/papers/stat_arb/Ahmed_2009.pdf

Específicamente:

Cuando los tipos de pedido son variables en el tiempo, las probabilidades deben calcularse a través de Monte Carlo. Un algoritmo sencillo es el siguiente. Hay seis tipos de órdenes: compra/venta y mercado/límite/cancelación. Para cada tipo de orden existen múltiples tarifas en función de la distancia a la oferta/demanda, es decir, si la oferta está en el décimo nivel de tick más alto, entonces hay diez órdenes de compra limitadas.

Dejemos que $\lambda_i$ , $i \in \mathcal{I}$ sea la colección de todos los pedidos de pedidos y $\boldsymbol{x}_t = (x_1, \ldots, x_n)$ sea el estado actual de la cartera de pedidos, como se especifica en [1]. Entonces hay un número fijo y número finito de estados posibles $x_t+1$ puede asumir. El siguiente estado de la cartera de pedidos está completamente determinado por la orden que llegue primero. Se sabe que si $X_i \sim \exp(\lambda_i)$ entonces

Por lo tanto, para determinar el siguiente estado de la cartera de pedidos, simplemente muestra $u \sim U(0,1)$ y luego dividir el intervalo $(0, 1)$ según las probabilidades anteriores para determinar qué orden llegó primero . Después de calcular el siguiente estado de la cartera de pedidos, volvemos a calcular el $\lambda_i$ ya que dependen de la cartera de pedidos, es decir $x_t$ es una cadena de Markov no homogénea, y se repite para generar una camino.

Dejemos que $A$ sea el conjunto de $\omega$ donde el precio medio aumenta, para calcular su probabilidad simulamos trayectorias muestrales hasta que se produzca un cambio en el precio medio y calculamos $I_A(\omega)$ entonces estima la probabilidad como

EDITAR:

Bien, he hecho algunos progresos:

Como dice el comentario de abajo, X se distribuye exponencialmente. Sin embargo, no entiendo para qué sirve calcular la "distribución de la variable aleatoria exponencial mínima".

Además, una vez que hemos hecho esto, entonces (parece) trazamos la distribución uniforme entre 0 y 1 y luego trazamos las probabilidades en el eje de las abscisas y, creo, buscamos la probabilidad con el área más grande?

Realmente no entiendo por qué esto nos dice el siguiente estado? ¿Qué nos dice exactamente encontrar la mínima variable aleatoria exponencial?

¿Por qué tenemos que utilizar la distribución uniforme?

Answer 1

Lo que yo entiendo es lo siguiente. Quieren determinar el siguiente estado de la cartera de pedidos. Por lo tanto, necesitan saber qué orden viene primero.

Una forma de saber qué orden llega primero podría ser generar un nuevo $X_i$ para todos $i \in \mathcal{I}$ y para identificar a los más pequeños. Esto no sería eficiente. La alternativa que mencionan se basa en $$ p_k := {\rm Pr}[\min (X_i : i \in \mathcal{I}) = X_k] = \frac{\lambda_k}{\sum_{i \in \mathcal{I}} \lambda_i}, $$ que proporciona la probabilidad de que el $k$ es el más pequeño. Obviamente, estas probabilidades suman uno. La idea es dividir el intervalo $[0, 1]$ en segmentos disjuntos de tamaño $p_k$ Uno por cada pedido $k$ . Para determinar qué orden es el primero, basta con muestrear una variable aleatoria uniforme en $[0,1]$ y determinar a qué segmento pertenece.

Edición: ejemplo de determinación de primer orden
Supongamos que $\mathcal{I} = \{1, 2, 3\}$ y $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 5, \lambda_3 = 3$ . Así que, $p_1 = 0.2, p_2 = 0.5, p_3 = 0.3$ y los segmentos son [0, 0,2], (0,2, 0,7] y (0,7, 1].
Dejemos que $u$ denotan el valor muestreado de la distribución uniforme. Si $u \in [0, 0.2]$ entonces $k = 1$ , si $u \in (0.2, 0.7]$ entonces $k = 2$ y si $u \in (0.7, 1]$ entonces $k = 3$ .