Cartera neutra Delta-Gamma, problema de derivación

Question

Dejemos que $C$ ser una opción sobre un subyacente $S$ . Quiero construir una cartera $V$ utilizando otro activo $C_0$ tal que el delta y la gamma de $V$ es el mismo que el delta/gama de $C$ con el fin de cubrir la opción.

Deja : $\gamma = \frac{\frac{\partial^{2}C}{\partial S^{2}}}{\frac{\partial^{2}C_0} {\partial S^{2}}} = \frac{\Gamma_C}{\Gamma_{C_0}}$

$\delta = \frac{\partial C}{\partial S} - \frac{\partial C_0}{\partial S}\gamma$

Aparentemente, si $V = \gamma C_0 + \delta S$ entonces $\Delta_V = \Delta_C$ y $\Gamma_V = \Gamma_C$

Sin embargo, cuando intento derivar el delta de $V$ , me sale :

$\Delta_V = \frac{\partial V}{\partial S} = \Delta_C + \frac{\partial \gamma}{\partial S} (C_0 - S\frac{\partial C_0}{\partial S})$

Así que el segundo término de la suma debe ser igual a 0, pero no veo por qué? Tal vez no lo sea y simplemente elijamos $C_0$ tal que $\frac{\partial \gamma}{\partial S}$ es pequeño?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Dejar $\frac{\partial C}{\partial S}=\delta_c$

dejar $\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}=\Gamma_c$

dejar $\frac{\partial C_0}{\partial S}=\delta_0$

dejar $\frac{\partial^2 C_0}{\partial S^2}=\Gamma_0$

queremos

$\frac{\partial V}{\partial S}=\frac{\partial C}{\partial S}=\delta_c$

y

$\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}=\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}=\Gamma_c$

dejar

$V=aS+bC_0$

entonces

$\delta_c=\frac{\partial}{\partial S}\left( aS+bC_0 \right)=a+b \delta_0$

y

$\Gamma_c = \frac{\partial}{\partial S}\left( a+b \delta_0 \right)=b\frac{\partial}{\partial S} \left( \delta_0 \right) = b \Gamma_0$

por lo tanto

$b=\frac{\Gamma_c}{\Gamma_0} \quad (=\gamma)$

y

$\delta_c=a+ \frac{\Gamma_c}{\Gamma_0} \delta_0$

demostrando que

$a= \delta_c- \frac{\Gamma_c}{\Gamma_0} \delta_0$

o

$a= \frac{\partial C}{\partial S}- \frac{\Gamma_c}{\Gamma_0} \frac{\partial C_0}{\partial S} \quad (=\delta)$

Espero que esto ayude