Independencia condicional y no correlación

Question

Tengo una pregunta sobre econometría básica. Considere el modelo $$y_i=\alpha +\beta x_i +u_i$$

Entiendo que la hipótesis 4 del modelo de regresión lineal establece

$$[1] \quad E(u|x)=0$$

Sin embargo, a menudo veo esta condición escrita como:

$$[2] \quad E(ux)=0$$

¿Son estas dos cosas equivalentes? Veo que si [1] y $E(u)=0$ entonces obtenemos [2]; sin embargo, no entiendo por qué [2] implicaría [1].

Answer 1

[2] no implica [1]. [2] y $E(u)=0$ implica $cov(u,x)=0$ , que se trata de independencia lineal . [1] es más fuerte, ya que se refiere a cualquier tipo de dependencia.

El contraejemplo clásico para demostrar esto es $x=u^2$ sobre un dominio simétrico. Son dependientes pero linealmente independientes.

El código R de abajo lo muestra:

set.seed(1)
u <- runif(100, min = -1, max = 1)
e <- rnorm(100, mean = 0, sd = 0.1)
x <- u^2 + e

plot(u,x)
abline(lm(x ~ u)) # Yields an R^2 of 0.006539

cov(u,x) # Yields 0.01206663

El gráfico es, donde la línea negra representa la línea de regresión:

Más información aquí .

Answer 2

La [1] es más fuerte que la [2]. Aplicando la ley de la expectativa de la probabilidad total y las propiedades de la expectativa condicional, tenemos: $$E(ux)= E(E(ux|x)) =E(xE(u|x)) $$ Así pues, [1] implica [2] pero [2] no implica necesariamente [1]