¿Cómo demostrar que la convexidad + las preferencias cuasilineales implican una utilidad cóncava?

Question

Dejemos que $\succsim$ sea una relación de preferencia estrictamente convexa y cuasilineal. Se define sobre, por ejemplo, $\mathbb{R}^2_{+}$ y es cuasilineal en el bien 1.

Así que, $U(x_{1},x_{2}) = x_{1} + f(x_{2})$ . Cómo demostrar que $f$ es una función estrictamente cóncava?

Estoy resolviendo el problema 15.B.8 de MWG y ni siquiera puedo entender lo que hizo el manual de soluciones.

Muchas gracias de antemano por cualquier sugerencia o idea.

Answer 1

Considere cualquier $x_2'$ y $x_2''$ en $\mathbb{R}_+$ . Sin pérdida de generalidad, dejemos que $x_2'' > x_2'$ . Podemos elegir $x_1'=f(x_2'')-f(x_2') > 0$ para que $U(0,x_2'')=U(x_1',x_2')$ . Sea $\lambda(x_1',x_2')+(1-\lambda)(0,x_2'')$ sea una combinación convexa de $(x_1',x_2')$ y $(0,x_2'')$ . Desde $\succsim$ es estrictamente convexa y $U(0,x_2'')=U(x_1',x_2')$ , \begin{eqnarray*} && U(\lambda(x_1',x_2')+(1-\lambda)(0,x_2'')) > U(x_1',x_2') \\ &\Rightarrow & U(\lambda x_1'+(1-\lambda)0,\lambda x_2'+(1-\lambda)x_2'') > \lambda U(x_1',x_2')+(1-\lambda)U(0,x_2'')\ldots(\because U(0,x_2'')=U(x_1',x_2')) \\ &\Rightarrow & \lambda x_1'+(1-\lambda)0 + f(\lambda x_2'+(1-\lambda)x_2'') > \lambda (x_1'+f(x_2'))+(1-\lambda)(0 + f(x_2''))\\ &\Rightarrow & \lambda x_1'+(1-\lambda)0 + f(\lambda x_2'+(1-\lambda)x_2'') > \lambda x_1'+(1-\lambda)0 + \lambda f(x_2')+(1-\lambda)f(x_2'') \\ &\Rightarrow & f(\lambda x_2'+(1-\lambda)x_2'') > \lambda f(x_2')+(1-\lambda)f(x_2'')\end{eqnarray*} Por lo tanto, $f(\cdot)$ es cóncavo estricto.