Hallar el % del consumo total por categoría utilizando la elasticidad y el MPC

Question

Dado un consumo total de 1000 y unos ingresos totales de 2000 con

Cat 1 => elasticidad de 0,5; MPC de 0,1

Cat 2 => elasticidad de 1, MPC de 0,3

¿Cómo puedo calcular el porcentaje de los ingresos totales de cada categoría?

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He intentado utilizar estas dos fórmulas

e intentamos averiguar la primera categoría suponiendo que la variación de los ingresos es de 2000 (2000-0) y la consumación inicial es de 0.

lo que me da un valor de 500 para c2. Pero entonces, utilizando la fórmula MPC, no parece tener ningún sentido

Answer 1

Obsérvese que la elasticidad puede escribirse como

$$\frac{\Delta C}{\Delta Y}\cdot\frac{Y}{C}$$

Por lo tanto, para la categoría $1$ tienes $$\frac{\Delta C_1}{\Delta Y}\cdot\frac{Y}{C_1}=0.5$$ y $$MPC_1=\frac{\Delta C_1}{\Delta Y}=0.1$$

Esto le da $$0.1\cdot\frac{Y}{C_1}=0.5$$ que, reordenando, da lugar a $$\frac{C_1}{Y}=\frac{1}5$$

Asimismo, $$\frac{C_2}{Y}=\frac{3}{10}$$

Por último, observe que $C=C_1+C_2=1000$ y $Y=2000$ por lo que debemos tener que $\frac{C}{Y}=\frac{C_1+C_2}{Y}=0.5$ que se cumple ya que $$\frac{1}5+\frac{3}{10}=0.5$$

(Ya que tenemos que $2C=Y$ y $100\%$ de los ingresos proviene de $C$ es sencillo ver que el $\%$ de ingresos asociados a cada categoría son el doble de estas cifras)