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¿Cómo puedo calcular el impacto de una variable independiente en una var. dependiente cuando la var. independiente cambia de 0 a algún valor positivo?

Intentaré explicar mi pregunta utilizando dos funciones de producción.

Dejemos que

$Y$ = Rendimiento de un determinado cultivo (toneladas/hectárea)

Supongamos que el rendimiento (output) es una función de dos inputs, $Y = f(N,I)$ , donde

$N$ = Fertilizante nitrogenado (insumo) (kg/hectárea)

$I$ = Riego (mm/hectárea)

Caso 1: Supongamos que tengo datos sobre 400 parcelas diferentes. Cada observación incluye el rendimiento (output) y el N (input). En este caso no hay riego, $I = 0$ .

$Y_1$ = $\alpha_0$ + $\alpha_1$ * $N_1$ + $\alpha_2$ * $N^2$ + $e$

Caso 2: Se introduce el riego (digamos hasta 100 mm/hectárea) en todas las parcelas, por lo que el valor de $I$ oscila entre 0 y 100. El riego aumenta el rendimiento en la mayoría de las parcelas. Sin embargo, para un gran número de parcelas, el riego por sí solo no aumenta los rendimientos y se requiere N adicional para aumentar los rendimientos. Dispongo de datos sobre ambos insumos y los correspondientes rendimientos (output).

$Y_1$ = $\alpha_0$ + $\alpha_1$ * $N_1$ + $\alpha_2$ * $N^2$ + $\alpha_3$ * $I_1$ + $\alpha_4$ * $I^2$ + $\alpha_5$ * $N*I$ + $e$

Lo que quiero medir es (1) ¿Cuál es el impacto del riego en los rendimientos? (2) Dado que el riego aumenta los rendimientos, ¿cuánto nitrógeno adicional (en promedio) es necesario para llegar a estos aumentos de rendimiento?

a) Según tengo entendido, no puedo utilizar una estimación del tipo diff-in-diff porque los impactos del riego son heterogéneos, es decir, no puedo simplemente añadir una variable ficticia de riego a la regresión.

Agradecería cualquier ayuda. Muchas gracias.

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WMR Puntos 5869

Sólo estoy pensando en voz alta, no digo que esto sea correcto, otros pueden tener una mejor idea. Voy a partir de la suposición de que usted está utilizando las mejores prácticas econométricas, de modo que confía en sus estimaciones y quiere tomar medidas basadas en ellas.

(1) El efecto parcial de pasar de $I=0$ a $I=1$ sería $E(Y_1|I=1,N=\overline{N})-E(Y_1|I=0,N=\overline{N})$

$=\hat{\alpha_3}+\hat{\alpha_4}+\hat{\alpha_5}\overline{N}$

Cuando el riego ya es positivo, el efecto marginal del riego sobre los rendimientos sólo será

$\frac{\partial E(Y_1|N,I)}{\partial I}=\hat{\alpha_3}+2\hat{\alpha_4}I+\hat{\alpha_5}N$

(2) Así que tienes curiosidad por saber qué nivel de nitrógeno hace que el efecto marginal del nitrógeno sea el mismo que el efecto parcial del riego. Creo que se podría llegar a esto encontrando el $I^*$ y $N^*$ tal que

$\frac{\partial E(Y_1|N,I)}{\partial I}=\frac{\partial E(Y_1|N,I)}{\partial N}$ ?

Ya hemos encontrado $\frac{\partial E(Y_1|N,I)}{\partial I}$ anterior, por lo que tenemos que calcular $\frac{\partial E(Y_1|N,I)}{\partial N}$

$=\hat{\alpha_1}+2\hat{\alpha_2}N+\hat{\alpha_5}I$

Desde aquí $\frac{\partial E(Y_1|N,I)}{\partial I}|_{N=N^*,I=I^*}=\frac{\partial E(Y_1|N,I)}{\partial N}|_{N=N^*, I=I^*}$

$\hat{\alpha_3}+2\hat{\alpha_4}I^*+\hat{\alpha_5}N^*=\hat{\alpha_1}+2\hat{\alpha_2}N^*+\hat{\alpha_5}I^*$

$\rightarrow (\hat{\alpha_5}-2\hat{\alpha_2})N^*=(\hat{\alpha_1}-\hat{\alpha_3})+(\hat{\alpha_5}-+2\hat{\alpha_4})I^*$

$\rightarrow N^*=\frac{(\hat{\alpha_1}-\hat{\alpha_3})+(\hat{\alpha_5}-+2\hat{\alpha_4})I^*}{(\hat{\alpha_5}-2\hat{\alpha_2})}$

Apuesto a que la decisión óptima de riego y fertilización igualaría el producto marginal de los fertilizantes por dólar gastado en fertilizantes con el producto marginal de la irrigación por dólar gastado en el riego que sería

$\frac{\hat{\alpha_3}+\hat{\alpha_4}+\hat{\alpha_5}N}{P_{irrigation}}=\frac{\hat{\alpha_1}+2\hat{\alpha_2}N+\hat{\alpha_5}I}{P_{fertilizer}}$

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