Tengo un problema en el que necesito liberar la volatilidad de la renta variable y tener en cuenta la deuda. Estoy tratando de resolver un sistema de ecuaciones no lineales para $\sigma_v,V$ utilizando $f(\sigma_v,V) = VN(d_1)-De^{-R_ft}N(d_2)-E$ y $g(\sigma_v,V)=\sigma_e\frac{E}{VN(d_1)}-\sigma_v$ . Quería hacer el método Newton usando R pero creo que lo primero que voy a necesitar es una diferenciación parcial de las dos funciones con respecto a $\sigma_v$ y $V$ para crear el jacobiano. Me preocupa diferenciar la primera ecuación debido a la FCD. En cuanto a la ecuación voy a utilizar la regla del cociente. $\frac{\partial{f}}{\partial{\sigma_v}}=0N(d_1)+VN'(d_1)-0N(d_2)+De^{-R_ft}N'(d_2)$ . Mi pregunta es sobre $\frac{\partial{N(d_1)}}{\partial{\sigma_v}}$ y $\frac{\partial{N(d_1)}}{\partial{V}}$ . Desde $N(d_1)=\frac{1}{2}\left[1+e^{\frac{log\frac{V}{D}+(R_f+.5\sigma_v^{2})t}{\sigma_v\sqrt{t}\sqrt{2}}}\right]$ ¿cómo podría diferenciarlo con respecto a los demás? $\sigma_v$ y $V$ ¿o hay una manera más fácil de resolver este sistema de ecuaciones?
Respuesta
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Por un lado, lo que ha escrito es incorrecto. Black-Scholes utiliza la CDF normal estándar:
$$N(d_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d_1} e^{-x^2/2} \, dx$$
Así que $N'(d_1) = \frac{e^{-d_1^2/2} }{\sqrt{2 \pi}}$ y utilizando la regla de la cadena obtenemos
$$\frac{\partial N(d_1)}{\partial V} = N'(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial V} = \frac{e^{-d_1^2/2} }{\sqrt{2 \pi}}\frac{1}{V\sigma_v\sqrt{t}}$$
Calcule las otras derivadas parciales de la misma manera y luego aplique el método Newton-Raphson.
