EDP de Black-Scholes y condición terminal

Question

Sólo una pregunta rápida que esperaba que alguien pudiera aclarar.

• Hasta ahora estoy familiarizado con la EDP de Black-Scholes con la condición terminal en el tiempo $T$ ha sido $V(t=T,S)=(S-K)^+$ .
• También entiendo que la EDP de Black-Scholes no contiene $S(T)$ y, por lo tanto, es independiente de la condición terminal.

Como tal, si la condición terminal fuera $(S^2 - K)^+$ la EDP de la opción de compra sigue siendo la misma, al menos eso es lo que me han dicho.

Intuitivamente no entiendo la lógica detrás de esto?

Por ejemplo, si $K$ es 50 y $S$ termina siendo 100;

• $(S - K) = \$ 50$, donde como.

• $(S^2 - K) = 10,000 - 50 = \$ 9,950$

Seguramente el $(S^2 - K)+$ la opción debe valer mucho más

Pero aparentemente la EDP para ambas opciones es la misma y por lo tanto el tiempo $t$ ¿el valor es también el mismo?

¿Podría alguien explicarlo?

Answer 1

La EDP será la misma pero como la condición terminal es diferente las soluciones no serán las mismas. La diferente condición de contorno dará diferentes valores en $t=T$ . A continuación, la ecuación se hace retroceder en el tiempo en ambos casos utilizando la misma ecuación, pero como la condición terminal es diferente, las soluciones no coincidirán

Answer 2

Es razonable y el enfoque PDE no es adecuado. En el modelo de Black scholes tenemos $$d\ln {{S}_{T}}=\,(r-\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}})dt+\sigma d{{W}_{t}}$$ así que $$d\ln {{S}_{T}^2}=\,(2r-{{\sigma }^{2}})dt+2\sigma d{{W}_{t}}$$ como resultado $$\ln {{S}_{T}^2}=\ln{{S}_{t}^2}\,+(2r-{{\sigma }^{2}})(T-t)+2\sigma (W_T-W_t)$$ dejar $$Y(t)=(2r-{{\sigma }^{2}})(T-t)+2\sigma [W(T)-W(t)]$$ está claro \begin{align} & \,\,\,\,{{E}^{\mathbb{Q}}}\left[ Y(t) \right]=(2r-{{\sigma }^{2}})(T-t) \\ & {{\operatorname{var}}^{\mathbb{Q}}}\left[ Y(t) \right]=4{{\sigma }^{2}}(T-t) \\ \end{align} en otras palabras podemos decir $$Y\overset{d}{\mathop{=}}\,\ N\left( (2r-{{\sigma }^{2}})(T-t)\,,4{{\sigma }^{2}}\left( T-t \right) \right)$$ Para simplificar, dejamos que ${\widetilde{r}}=(2r-{{\sigma }^{2}})$ y $\tau =(T-t)$ así que $Y\overset{d}{\mathop{=}}\,\ N\,(\overset{\tilde{\ }}{\mathop{r}}\,\tau \,,{4{\sigma }^{2}}\tau )$ como resultado

$$\frac{Y-\overset{\tilde{\ }}{\mathop{r}}\,\tau }{2\sigma \sqrt{\tau }}\overset{\,\,d}{\mathop{\,=}}\,\ N(0,\,1)$$

tenemos $$\Pi (t)=e^{-{r}\tau}{{E}_{t}}^{Q}\left[ {{({{S}_{T}}^{2}-K)}^{+}} \right]=e^{-{r}\tau}{{E}_{t}}^{Q}\left[ {{({{S}_{t}}^{2}{{e}^{{{Y}_{t}}}}-K)}^{+}} \right] $$
$$\Pi (t)=e^{-{r}\tau}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{({{S}_{t}}^{2}\,{{e}^{y}}-K,\,0)}^{+}}\,{{f}_{Y}}}(y)\,dy$$ Finalmente debemos hacer el mismo procedimiento con $(S_T-K)^+$ entonces $$\Pi (t)={{S}_{t}}{{\,}^{2}}N\left[ {{d}_{1}} \right]-K{{e}^{-r\,\tau}}\ N\left[ {{d}_{2}} \right]$$ donde \begin{align} & {{d}_{1}}=\frac{(2r+3{{\sigma }^{2}})\tau +\ln \left( \frac{{{S}_{t}}^{2}}{K} \right)}{2\sigma \sqrt{\tau }} \\ & {{d}_{2}}={{d}_{1}}-2\sigma \sqrt{\tau } \\ \end{align}