Fuerza del interés compuesto al tipo anual i

Question

Estoy haciendo unas prácticas de actuario y estoy perdido en cuanto a lo que pasa con la diferenciación aquí (hace tiempo que no tengo calc):

Deduzca una expresión para $\delta_t$ si la acumulación se basa en:

(a) interés simple al tipo anual i y

(b) interés compuesto al tipo anual i .

Entiendo la respuesta a (a), que es $\delta_t$ = $\frac{ A'(t)}{A(t)}$ = $\frac{i}{1+i \cdot t}$ .

Sin embargo, no entiendo su método para conseguir $\ln(1+i)$ para la parte (b).

Cualquier ayuda será muy apreciada.

(p.d. este es el ejemplo 1.13 p.40 de Broverman's Mathematics of Investment and Credit 5th ed)

Answer 1

El interés compuesto es $A(t) = (1+i)^t$ . Así que entonces $\delta_t = \frac{d}{dt}ln(A(t)) = \frac{d}{dt}t*ln(1+i) = ln(1+i)$

Answer 2

De la reescritura $$A(t)=(1+i)^t = e^{t\ln(1+i)}$$ obtenemos por la regla de la cadena que $$\delta_t = \frac{A'(t)}{A(t)}=\frac{\ln(1+i)\cdot e^{t\ln(1+i)}}{A(t)}=\ln(1+i).$$