Ahora estoy luchando con el modelo de Hull-White y tengo la siguiente pregunta: en los apuntes de clase bajo el enlace de abajo veo cómo se derivan A(t,T) y B(t,T). Esto requiere la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Con B(t,T) está más o menos claro, todavía no entiendo cómo el autor llega a la fórmula (5) que expresa A(t,T).
Le agradecería cualquier pista.
Parece que viene directamente de la integración cuando miro las diapositivas. Según su diapositiva tenemos que A(t,T) debe satisfacer:
$A_t \theta(t)AB + 0.5 ^2 AB^2 = 0$ .
Simplificando la condición anterior (llevando todos los términos A al lado izquierdo) obtenemos:
$ \frac{1}{A}dA = \theta(t)B - 0.5 ^2 B^2$
ahora integramos ambos lados: $ln(A) = -\int_t^T \theta(s)B(s) ds + 0.5 \sigma^2 \int B^2 ds$
editado los signos de las integrales . Nótese los signos de la integral ya que se trata de una ODE retrógrada en lugar de una EDO regular hacia adelante. Esto se debe a que tenemos condición terminal A(T,T) y B(T,T) en lugar de condiciones iniciales.
Ya has podido derivar la fórmula de B. Mételo y haz la integración en el $B^2$ parte. que debería darle la respuesta tal y como se proporciona en las diapositivas.
Estimado mbison Gracias por su respuesta muy útil. Todavía tengo una pregunta a la misma. Todo es lógico, pero si tomamos exponencial de ambos lados en ln(A)=Tt(s)B(s)ds0.52B2ds, el primer término en el RHS todavía no tendrá menos... Esto es confuso... ¿Me he perdido algo? ¿Tienes alguna idea de cómo el autor llega a la solución en las notas de clase?
@QuackQuack , Hay un enfoque diferente en este contexto. puede utilizar $P(t,T)=\mathbb{E}^Q[exp(-\int_{t}^{T}r_u du|\mathcal{F}_t]$ Pero debe calcular $-\int_{t}^{T}r_u du$ al principio.
@QuackQuack: Ya veo de dónde viene la confusión con el signo + y -. La razón es porque normalmente las EDOs avanzan en el tiempo con un inicial estado. Sin embargo, la ecuación de enlace se establece con un terminal condición $P(T,T) =1$ por lo que se resuelve un ODE retrógrada . Así que en realidad el autor de su documento es absolutamente correcto con sus signos y en realidad me equivoqué el signo + y - en mi respuesta. por lo que debe ser $ln(A) = - \int_{t}^T \theta(s)B(s)ds + 0.5\sigma^2 \int B^2 ds$ (debido al hecho de que estás resolviendo la EDO hacia atrás en el tiempo en lugar de hacia delante).
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