Fijación del precio de una opción de compra europea cuando se viola la ausencia de arbitraje

Question

Supongamos que tenemos un modelo de mercado general de un período que consta de d+1 activos y N estados.

Utilizar una cartera de réplica $\phi$ Determinar $\Pi(0;X)$ el precio de una opción de compra europea, con pago $X$ en el activo $S_1^2$ con precio de ejercicio $K = 1$ dado que

$$S_0 =\begin{bmatrix} 2 \\ 3\\ 1 \end{bmatrix}, S_1 = \begin{bmatrix} S_1^0\\ S_1^1\\ S_1^2 \end{bmatrix}, D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 2 & 4\\ 0.8 & 1.2 & 1.6 \end{bmatrix}$$

donde las columnas de D representan los estados para cada activo y las filas de D representan los activos para cada estado

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Lo que he probado:

Lo calculamos:

$$X = \begin{bmatrix} 0\\ 0.2\\ 0.6 \end{bmatrix}$$

Si resolvemos $D'\phi = X$ obtenemos:

$$\phi = \begin{bmatrix} 0.6\\ 0.1\\ -1 \end{bmatrix}$$

Parece que el precio de la opción de compra europea $\Pi(0;X)$ viene dado por el valor de la cartera de réplica

$$S_0'\phi = 0.5$$

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Por un lado, si intentáramos ver si hay arbitraje en este mercado viendo si un vector de precios estatal $\psi$ existe resolviendo $S_0 = D \psi$ obtenemos

$$\psi = \begin{bmatrix} 0\\ -0.5\\ 1 \end{bmatrix}$$

Por lo tanto, no existe un vector de precios estatales estrictamente positivo $\psi$ s.t. $S_0 = D \psi$ . Por "el teorema fundamental de la fijación de precios de los activos (o el teorema fundamental de las finanzas o 1.3.1" aquí ), existe arbitraje en este mercado.

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Por otro lado el precio de 0,5 parece confirmarse por:

$$\Pi(0;X) = \beta E^{\mathbb Q}[X]$$

donde $\beta = \sum_{i=1}^{3} \psi_i = 0.5$ (suma de elementos de $\psi$ ) y $\mathbb Q$ se supone que es la medida martingala equivalente dada por $q_i = \frac{\psi_i}{\beta}$ .

Así, tenemos

$$E^{\mathbb Q}[X] = q_1X(\omega_1) + q_2X(\omega_2) + q_3X(\omega_3)$$

$$ = 0 + \color{red}{-1} \times 0.2 + 2 \times 0.6 = 1$$

$$\to \Pi(0;X) = 0.5$$

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Supongo que $\therefore$ que no podemos determinar el precio de la llamada europea utilizando $\Pi(0;X) = \beta E^{Q}[X]$ porque no existe una medida martingala equivalente $\mathbb Q$

¿Cuál es el veredicto? ¿Podemos decir que el precio es 0,5? ¿Cómo podemos fijar el precio aunque haya arbitraje?

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Edito: Me he dado cuenta de que una de las probabilidades, en lo que se intentaba que fuera la medida de martingala equivalente, es negativa. Recuerdo haber leído sobre probabilidades negativas pero estos enlaces 1 2 mencionados por Wiki parecen suponer la ausencia de arbitraje, por lo que creo que no son aplicables. ¿O no lo son?

¿Acaso se puede considerar que este mercado está libre de arbitraje bajo alguna medida de cuasiprobabilidad que permite las probabilidades negativas?

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Editar (para abordar una respuesta borrada):

Gracias BKay.

1 ¿Quiere decir que no hay un precio único para $X$ ¿pero podemos encontrar límites superiores? Como en tu ejemplo, el límite superior más bajo hasta ahora es 0,3, entonces podemos seguir encontrando límites superiores más bajos $u_1, u_2, ...$ (o incluso límites inferiores más altos $l_1, l_2, ...$ ) para decir el precio de $X$ está en $[0,\inf_n u_n]$ (o $[\sup_n l_n,\inf_n u_n]$ )?

2 Sobre la dominación estocástica, no he oído ese término en las clases, pero creo que lo he leído antes. ¿Podría depender de la medida de (cuasi)probabilidad? Bajo esta medida de probabilidad $0.5 S_1^2$ domina $X$ ¿pero qué pasa con alguna medida de cuasiprobabilidad?

3 el $q_i$ 's, no el $\psi_i$ son las probabilidades

Answer 1

Creo que no hay un precio único. Digamos que en lugar de comprar la opción se gasta 0,5 en media unidad del activo $S^2_1$ Este activo paga $[0.4, 0.6, 0.8]$ que domina estocásticamente la opción de primer orden. Así que, independientemente de sus creencias probabilísticas sobre los estados, en ese escenario nunca pagaría $0.5$ para la opción que paga menos en todos los estados. Esto sugiere que el precio correcto es menor que $0.5$ . Del mismo modo, comprar $0.25$ unidades del $S^0_1$ activo o $0.167$ unidades del $S^1_1$ activo también dominaría estocásticamente la opción. De hecho, porque para $0.375$ unidades de activo $S^1_2$ que cuesta el $0.375$ , aún puedes tener un activo que te pague $[0.3, 0.45, 0.6]$ parece poco probable que el precio pueda ser tan alto como $0.375$ . El activo 0 implica un precio inferior a $0.4$ y el activo 1 a continuación $0.45$

Un poco de código python para resolver:

import numpy as np
S0 = np.array([[2],[3],[1]])
D = np.array([[1,2,3], [2,2,4], [0.8, 1.2, 1.6]])
X = np.array([[0.0],[0.2],[0.6]])
phi = np.dot(np.linalg.inv(D.transpose()), X)
print('The weights of the portfolio that replicates payoff X are: \n', phi)
P_X = np.dot(S0.transpose(), phi)
print('With a price: ', P_X)
print('Normalizing to pay a fixed price P_X for each of the three assets, what payoffs can you get?')
D_norm = D/(2*S0)
print(D_norm)
print('Notice that all three first order stochastically dominate the option for a price of: ', P_X)
print(D_norm - X.transpose())
print('Using each of the base assets, what\'s the minimum quantity that dominates?')
D_relative = X.transpose() / D
print(D_relative)
Min_dominating_fraction = np.max(D_relative,axis=1)
print('Minimum fraction of each of the assets that dominates X\n', Min_dominating_fraction)
P_Min_dominating_fraction = S0.transpose() * Min_dominating_fraction 
print('At prices of: ', P_Min_dominating_fraction)
print('Therefore the option price should be less than: ', np.min(P_Min_dominating_fraction))

Este código no detalla el precio de la opción, sólo muestra mis cálculos para el párrafo anterior. Creo que el precio real de esta opción sería en realidad cero si se permite la venta en corto. Si se compran tres unidades del activo $S^2_0$ y corta una unidad de $S^1_0$ se obtiene un activo con pagos $[ 0.4, 1.6, 0.8]$ . Esta posición no tiene coste alguno, tiene pagos positivos para todos los estados y domina estocásticamente de primer orden la propia opción. Dado que es posible hacer una cartera mejor que la réplica a coste cero, el precio debería ser cero. ¡Oh, la locura que se produce cuando los arbitrajes están presentes!