¿Modelamos los precios nominales o reales de los activos?

Question

La respuesta es probablemente obvia, pero curiosamente no he podido encontrarla de forma explícita en los libros de texto de finanzas matemáticas.

Así que cuando Shreve dice en el párrafo 5.2.2 de SCF-II:

Consideremos un proceso de comilla de las acciones cuyo diferencial es $$ dS(t) = \alpha(t)S(t)dt+ \sigma(t)S(t)dW(t), \quad 0 \leq t \leq T $$

se refiere a un nominal precio o un real ¿el precio de las acciones?

El significado de real y nominal se describe allí

Answer 1

$S(t)$ es el precio nominal de las acciones.

Nada impide modelar una ecuación diferencial estocástica para el precio real de las acciones, pero eso no sería práctico para la fijación de precios de los derivados, ya que los precios de ejercicio fijos de las opciones tendrían que ser divididos por el IPC para ser convertidos en precios reales, lo que requeriría una modelización conjunta del precio real de las acciones y del IPC.

Además, el descuento tendría que hacerse a los tipos de interés reales, lo que requeriría el bootstrap de la curva ZC de la inflación, además del bootstrap de la curva OIS estándar.

Así que, al final, incluso los precios de las opciones vainilla simples se expresarían como una función de muchos parámetros, una complicada desviación de la representación de la superficie de la volatilidad implícita estándar, y no muy práctica para establecer coberturas.

Answer 2

Las finanzas cuantitativas se ocupan casi exclusivamente del supuesto de neutralidad ante el riesgo (a diferencia de las medidas del mundo real que se suelen encontrar en las ciencias actuariales). Wikipedia tiene una gran entrada sobre el La historia: Q contra P . Dado que las medidas neutrales al riesgo descuentan los precios futuros (nominales) al presente, el tipo libre de riesgo contiene información tanto sobre la tasa de rendimiento como sobre la tasa de inflación. Por lo tanto, modelamos los precios nominales, pero (¿casi?) siempre expresamos el valor presente utilizando los dólares de hoy . Esta práctica es coherente con la interpretación habitual de que los tipos libres de riesgo corresponden a los rendimientos de los pasivos que devengan intereses. Es decir, un valor sin riesgo compensa al titular por valor del tiempo y inflación .

Dado el lema de Itô, y bajo varianza fija, tenemos:

(1) $S_t = S_0 \,\text{exp} \left[ ({\int_{0}^{t}{a_t}\,dt}) - \frac{\sigma^2}{2}t +Z \,\sigma \sqrt{t} \right]$

Si ${\int_{0}^{t}{a_t}\,dt} \ne r\,t$ Entonces podríamos ir en corto en una y en largo en la otra para una operación de arbitraje. Como se trata de una no-no en las finanzas cuantitativas, volvemos a la medida de riesgo neutro cuando (1) $\to $ (2):

(2) $S_t = S_0 \,\text{exp} \left[ (r - \frac{\sigma^2}{2})t +Z \,\sigma \sqrt{t} \right]$

Así, para una función de densidad de probabilidad $f(x;S_t)$ tenemos:

(3) $\mathbb{E}^Q \left[ S_t \right] = \int_{-\infty}^{\infty} f(u)S(u)\, \mathcal{d} u = S_0 \exp \left[ r\,t \right] $

(Obsérvese que la misma lógica se aplica a un pago contingente, $V$ , resulta en Black-Scholes ya que a partir de Itô, tenemos:

$dV = \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^2V}{\partial S^2}dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS$ )

Nada de esto quiere decir que no se pueda modelar real precios, pero para ello habría que utilizar también un tipo libre de riesgo que desconfirme el efecto de la inflación. En la práctica, un particular podría considerar la posibilidad de utilizar los tipos de los TIPs frente a los bonos del Tesoro estándar.