¿Cómo calcular el tiempo de mantenimiento ideal de una máquina?

Question

Tengo una pregunta sobre un problema de cálculo de costes:

Tengo la siguiente curva, que muestra, que con el aumento del número de tareas sin mantener una máquina, la probabilidad de error para las piezas producidas aumenta.

El eje x representa el contador de tareas sin mantenimiento de la máquina. Esto significa que el punto (10;0.2) dice: Cuando la máquina no fue mantenida los últimos 10 ciclos, la tasa de error es del 20%.

El mantenimiento de la máquina cuesta, digamos, 1000 euros y un error 15 euros. Ahora tengo que encontrar el contador de mantenimiento perfecto, cuando para mantener la máquina.

He pensado en multiplicar la curva por 15€ y luego integrar la función, para tener en cuenta la probabilidad ya aumentada de los ciclos anteriores en un recuento concreto. Sin embargo, no estoy seguro de este paso de integración.

Tal vez alguien más tiene alguna idea de cómo manejar este problema.

Answer 1

Supongamos que la probabilidad de un error en el $n$ El último ciclo desde el mantenimiento más reciente es $a+bn$ y que el número de tareas (ciclos) entre mantenimientos sea $x$ . Estoy asumiendo aquí que las tareas pueden ser tratadas como discretas.

El modo en que yo enfocaría la optimización es calcular tanto el coste total de mantenimiento como el coste total de error esperado a lo largo de un número bastante grande de ciclos, digamos 1.000. El número que se elija es arbitrario, pero me parece más intuitivo pensar en los costes totales en ese contexto que en los promedios por ciclo, aunque cada uno de ellos debería llevar al mismo resultado.

Los costes totales de mantenimiento son:

$$\frac{1000}{x}\times 1000=\frac{1000000}{x}$$

Costes de error esperados entre dos eventos de mantenimiento sucesivos, utilizando la fórmula del número triangular para sumar los $b$ son:

$$\sum_{n=1}^x 15(a+bn)=15\Big(ax+b\Big(\frac{x(x+1)}{2}\Big)\Big)$$

Por lo tanto, los costes totales de error esperados son:

$$\frac{1000}{x}\times 15\Big(ax+b\Big(\frac{x(x+1)}{2}\Big)\Big)=15000\Big(a+\Big(b\frac{x+1}{2}\Big)\Big)$$

Costes totales $TC$ (incluyendo tanto los costes de mantenimiento como los de los errores esperados) son, por lo tanto:

$$TC = \frac{1000000}{x} + 15000\Big(a+\Big(b\frac{x+1}{2}\Big)\Big)$$

Fijar la primera derivada igual a cero para encontrar el mínimo:

$$\frac{dTC}{dx}=\frac{-1000000}{x^2}+15000\Big(\frac{b}{2}\Big)=0$$

$$-2000000+15000bx^2=0$$

$$-400+3bx^2=0$$

$$x=\sqrt{\frac{400}{3b}}$$

Para confirmar que se trata de un mínimo:

$$\frac{d^2TC}{dx^2}=\frac{2000000}{x^3}>0$$

Poner (como sugiere aproximadamente el gráfico) $a=0.18, b=0.001$ Esto da como resultado:

$$x=\sqrt{\frac{400}{0.003}}\approx365$$

Tenga en cuenta que en este caso $a+bx=0.18+(0.001\times365)=0.545 < 1$ . La fórmula debería modificarse si los valores implican una probabilidad de error superior a 1 antes de llegar al siguiente evento de mantenimiento.

Apéndice 3/11/2020

En respuesta a tu comentario sobre la integración, si se considera que las tareas son discretas, la integración no da una fórmula exactamente correcta para los costes totales de error esperados. La integral necesaria es:

$$\int_0^x 15(a+bn)dn=15\Big(ax+\frac{bx^2}{2}\Big)$$

Esto ha $x^2$ donde el cálculo anterior tiene $x(x+1)$ . Sin embargo, esta diferencia se desvanece al diferenciar el TC, ya que:

$$\frac{d(bx)}{dx}=\frac{d(b(x+1))}{dx}=b$$

Por lo tanto, este enfoque conduce al mismo valor óptimo para $x$ .