Problema de control óptimo determinista
$ V(a_t) = \underset{c}{\max} \int_{\tau =t}^{\tau = \infty} e^{-\rho (\tau - t) } u(c_{\tau}) d\tau $
s.t. $ \frac{da}{d\tau} = \left( r a_{\tau} - c_{\tau} \right) $
CV Hamiltoniano : $H^{CV} \equiv u(c_t) + \lambda_{t} \times (r a_{t} - c_{t})$
$H^{CV}_c=0$ , $H^{CV}_a=\rho \lambda - \frac{d\lambda}{dt}$ , $H^{CV}_\lambda = \frac{da}{dt}$
Se reduce a un sistema de DAE de valor límite.
Si puede eliminar $\lambda$ sistema de BV-ODEs.
HJB : $\rho V(a_t) = \underset{c}{\max} \{ u(c_{t}) + V_a \times (r a_{t} - c_{t}) \}$
Los autores suelen definir el término en el HJB que depende del control como "hamiltoniano": $H\left( V_a\right) \equiv \underset{c}{\max} \{ u(c) - c_{t} \times V_a \} \Rightarrow c(a_t) =u'^{-1} \left( V_a(a_t) \right)$
Por lo tanto, $\Leftrightarrow \rho V(a_t) = H\left( V_a\right) + V_a \times r a_{t}$
Adrien Bilal ( p9 ) y Neil Walton y otros, llaman al término dentro del HJB $H\left( V_a\right)$ un hamiltoniano.
Si ponemos $\lambda_{t} \equiv V_a$ entonces $H^{CV} = H\left( V_a\right) + \lambda \times r a_{t}$ .
Q1 por qué añaden el término $H\left( V_a\right)$ dentro del HJB?
-adivina: separa la parte no lineal de HJB
-adivina: separa la parte del HJB que depende del control
Q2 por qué se llama $H\left( V_a\right)$ ¿un "hamiltoniano"?
Nota : NO estoy preguntando si la solución del HJB es la misma que la del Hamiltoniano.
Sol a HJB: $V(a_t)$ da la política $c(a_t) = u'^{-1}(V_a)$
Combinar la política con la ecuación de transición: se obtiene $c^{HJB}(t)$
Sol a CV Hamiltoniano: $c^{H}(t)$
Puedo demostrar (bajo los supuestos adecuados) que $c^{HJB}(t)=c^{H}(t)$ .
(nodo lateral) Recordar: $H^{CV}_c=0$ & $H^{CV}_a=\rho \lambda - \frac{d\lambda}{dt}$
$H^{CV}_a=\rho \lambda - \frac{d\lambda}{dt}$ : implica $\lambda r = \rho \lambda - \frac{d\lambda}{dt}$ implica $V_a (\rho-r) = V_{aa} (r a_{t} - c_{t})$
