pregunta sobre la prueba econométrica de la hipótesis de la tasa natural

Question

Hola a todos: Tengo el documento de Lucas, 1972b "Econometric Testing Of the Natural Rate Hypothesis" pero desafortunadamente no como pdf. ( es de un libro que contiene muchos trabajos de Lucas llamado "studies in business cycle theory"). Suponiendo que alguien que lea esta pregunta haya leído ese trabajo y lo haya entendido, podría explicar cómo se producen las ecuaciones 11) y 12). Muchas gracias por su ayuda.

ADICIÓN A LA PREGUNTA ORIGINAL:

Voy a escribir las ecuaciones que conducen a las dos ecuaciones de las que no sigo la derivación. Mi esperanza es que no mucha gente tenga el pdf del archivo así que las ecuaciones obviamente ayudarán.

1) $y_t = a(P_{t} - P^{*}_{t})$ (función de oferta agregada).

7) $y_{t} + P_{t} = x_{t}$ ( calendario de la demanda agregada )

8) $x_{t} =\rho_{1} x_{t-1} + \rho_{2} x_{t-2} + \epsilon_{t}$ ( AR(2) para $x_{t}$ ).

9) $ P_{t}^{*} = E(P_{t+1}| x_{t}, x_{t-1}, \eta_{t}) + \eta_{t} $ ( Definición de la expectativa del agente sobre el precio en el momento $t+1$ . )

10) $ (1+a) P_{t} - a P^{*} _{t} = x_{t} $ (obtenida por manipulación algebraica directa de (1) y (7). )

Significado de las variables:

1) $P_{t}$ es el nivel de precios en el momento t.

2) $P^{*}_{t}$ es el nivel de precios esperado en el momento t+1, donde la expectativa se toma en el momento t. ( la expectativa del agente sobre el nivel de precios ). Esencialmente, $P_{t+1}$ es el nivel de precios del período siguiente, cuya variable $P^{*}_{t}$ es una previsión.

3) $y_{t}$ es la producción en el momento t.

4) $x_{t}$ es el logaritmo de la oferta monetaria y es un parámetro de desplazamiento. Forma parte de una regla de política que da el valor actual de $x_{t}$ en función del estado del sistema.

Después de explicar estas ecuaciones, el autor dice entonces:

"Buscaremos soluciones lineales $P_{t}$ y $P^{*}_{t}$ a las ecuaciones 9 y 10: "

11) $P_{t} = \pi_{1} x_{t} + \pi_{2} x_{t-1} + \pi_{3} \eta_{t} $

12) $ P^{*}_{t} = \pi_{4} x_{t} + \pi_{5} x_{t-1} + \pi_{6} \eta_{t} $

Las ecuaciones 11) y 12) son las ecuaciones cuya derivación se me escapa totalmente. Muchas gracias por su ayuda. Mark

                                                     Mark

P.D.: Para los principiantes que estén luchando con la teoría detrás de RE, este documento es el más claro y sencillo que he encontrado, aparte de la derivación de 11) y 12). Lo recomiendo encarecidamente. Hace poco que encontré el libro y he decidido que, de entre todos los mejores especialistas en ER, Lucas destaca realmente en cuanto a la claridad de sus escritos.

Answer 1

Ecuaciones $11$ ) y $12$ ) no se derivan, son se supone que .

En concreto, con la ec. $9$ ) Lucas define/supone que el valor esperado para el $t+1$ El nivel de precios es la expectativa condicional basada en $x_t, x_{t+1},\eta_t$ (más $\eta_t$ por sí mismo). Esto es imponer la hipótesis de las expectativas racionales.

Luego dice "buscaremos soluciones lineales..." que se traduce " asume que la forma funcional de $E(P_{t+1}| x_{t}, x_{t-1}, \eta_{t})$ es lineal en sus argumentos, y luego determinar (o estimar) los coeficientes". Ciertamente, esto es con toda probabilidad una aproximación a la verdadera forma funcional de esta expectativa condicional.

Así que suponiendo que que

$$E(P_{t+1}| x_{t}, x_{t-1}, \eta_{t}) = \pi_{4} x_{t} +\pi_{5} x_{t-1} + \beta\eta_{t}$$

e insertando esto en $9$ ) obtenemos $12$ ) con el mapeo $\pi_{6} = 1+\beta$ .

Inserción de $9$ ) en $10$ ) obtenemos

$$(1+a) P_{t} - a [\pi_{4} x_{t} + \pi_{5} x_{t-1} + \pi_{6} \eta_{t}] = x_{t}$$

$$\implies P_{t} = \frac{1+a\pi_{4}}{1+a}x_t +\frac{a\pi_{5}}{1+a}x_{t-1}+\frac{a\pi_{6}}{1+a}\eta_{t}$$

que es $11$ ), después de compactar y mapear los coeficientes anteriores a la $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ los.