¿Por qué la demanda estrictamente walrasiana con función de utilidad cuasicóncava significa que la demanda walrasiana sólo tiene un único paquete de consumo?

Question

En el contexto de la demanda walrasiana:

Supongamos que u es continua, satisface la no relación local y es estrictamente cuasicóncava, cada $w(p, x)$ contiene un único paquete de consumo.

La prueba que obtuve de un libro de texto es:

Dejemos que $x $ ~ $ y$ con $p^T x=p^T y =w$ , $z=\alpha x + (1- \alpha) y$ con $0 < \alpha < 1$ . $p^T z =w$ debido a la convexidad del conjunto presupuestario.

Nota: Entiendo que esto tiene sentido gráficamente.

Caso 1:

Si $x \neq y$ , la cuasi-concavidad estricta implica $u(z) > u(x) = u(y)$ Por lo tanto $z$ es preferible a $x$ y $y$ Por lo tanto $x, y$ no son elementos de la demanda walrasiana.

Caso 2:

De lo contrario, $x = y = z$ .

Para el caso 1, ¿cómo se puede estar seguro de que el $z$ es único?

Answer 1

Para el caso 1, se puede argumentar $z$ será única por contradicción:

Supongamos que ad absurdum hay otro $z'$ que sea factible (es decir $p^Tz' =w$ ) óptimo y $z'\neq z$ . Entonces se puede considerar una combinación convexa de $z$ y $z'$ : $\bar z = \beta z + (1-\beta) z'$ , para $\beta\in(0,1)$ . Observe que $\bar z$ sigue siendo factible (porque es una combinación de dos paquetes factibles) y, debido a la cuasi-concavidad estricta , $u(\bar z) > u(z')$ para que $z'$ no puede ser óptima, una contradicción.