Exactitud de la fórmula de aproximación de Rebonato entre distintas huelgas

Question

Puede alguien explicarme si la fórmula de aproximación a la volatilidad de los swaptions de Rebonato es exacta para sólo ¿Huelgas de cajeros automáticos, y si es así por qué? ¿Se puede utilizar también para los strikes ITM y OTM?

Mis fundaciones:

Dejemos que $0 < T_0 < T_1 < \ldots < T_N$ ser una estructura de tenor. Consideremos una swapción pagadora que da derecho a suscribir un swap de tipos de interés pagadores a $T_0$ con los pagos de la parte flotante y de la parte fija en $T_1,\ldots,T_N$ . El tipo fijo se establece en $K$ .

He implementado la fórmula de aproximación de la volatilidad del swaption de Rebonato en Matlab como $$\upsilon^{REB}= \sqrt{\frac{\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}w_n\left(0\right)w_k\left(0\right)L_n\left(0\right)L_k\left(0\right)\rho_{n,k}\int_0^{T_0}\sigma_n\left(t\right)\sigma_k\left(t\right)dt}{SwapRate\left(0\right)^2}}\\ =\sqrt{\frac{\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}w_n\left(0\right)w_k\left(0\right)L_n\left(0\right)L_k\left(0\right)\rho_{n,k}\int_0^{T_0}\sigma_n\left(t\right)\sigma_k\left(t\right)dt}{\sum_{n=0}^{N-1}w_n\left(0\right)L_n\left(0\right)}},$$ donde $L_n\left(0\right):=L\left(0;T_n,T_{n+1}\right)$ representan la curva inicial del Libor y $w_n\left(0\right)$ son los pesos definidos como $$w_n\left(t\right) = \frac{\tau_n P\left(t,T_{n+1}\right)}{\sum_{r=0}^{N-1} \tau_r P\left(t,T_{r+1}\right)},$$
con $\tau_n =T_{n+1}-T_n$ .

Las volatilidades instantáneas $\sigma_n\left(t\right)$ vienen dadas por la siguiente parametrización; $$\sigma_n\left(t\right) = \phi_n\left(a+b\left(T_n-t\right)\right)e^{-c\left(T_n-t\right)}+d.$$

Para obtener el precio del swaption en el momento $0$ He utilizado esta aproximación de swaption como entrada en el foro de Black; $$V_{swaption}\left(0\right) = Black\left(K,SwapRate\left(0\right),\upsilon^{REB}\right)\\ =Black\left(K,\sum_{n=0}^{N-1}w_n\left(0\right)L_n\left(0\right),\upsilon^{REB}\right)$$

Para acceder a la exactitud de la fórmula de aproximación de Rebonato he comparado los precios de varios swaptions obtenidos enchufando la volatilidad de la aproximación en Black (como arriba) y los precios obtenidos por una evaluación de Monte Carlo haciendo 1000000 simulaciones.

Me interesaba especialmente la precisión entre las diferentes huelgas $K$ . Para ilustrar esto, consideremos la swaption 4Y10Y y sus correspondientes strikes ATM , ATM+1%, ATM+2% y ATM+3% (el strike ATM es $K=SwapRate\left(0\right)$ ).

Mis conclusiones fueron que a medida que te alejas del strike ATM, la aproximación empeora (la diferencia entre el precio de Montecarlo y el precio con la volatilidad aproximada de Rebonato aumenta). En números concretos, la diferencia para el strike ATM es de 9 pb y para ATM+3% de 36 pb.

He buscado en la literatura una explicación, pero no encuentro ninguna. Por lo que he entendido, no se hace ninguna suposición sobre la evolución de la huelga para derivar la fórmula de Rebonato.

Brigo y Mercurio también realizan una prueba de precisión de la fórmula de Rebonato en su libro "Interest Rate Models - Theory and Practice", a saber:

"Los resultados se basan en una comparación de la fórmula de Rebonato con las volatilidades que, introducidas en la fórmula de Black, conducen a los precios de Montecarlo de las correspondientes swaptions at-the-money. "

Además, Jäckel y Rebonato analizan en su artículo "Linking Caplet and Swaption Volatilities in a BGM/J Framework": Approximate Solutions' lo bien que funciona la aproximación comparando los precios de swaptions ATM obtenidos por la volatilidad de Rebonato y los precios ATM de Montecarlo.

¿Es una coincidencia que sólo pueda encontrar resultados para swaptions ATM o la fórmula de aproximación de la volatilidad de swaptions de Rebonato realmente no funciona bien para swaptions ITM y OTM?

Se agradece cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Ciertamente funciona mejor en el dinero. ¿Por qué? Creo que viene del hecho de que la fórmula de Black es aproximadamente lineal en el dinero. La aproximación $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \operatorname{SR} \sigma \sqrt{T} A, $$ con $A$ la anualidad es notablemente buena.

Una forma de deducir estas fórmulas es hacer una expansión asintótica/Taylor sobre $\sigma=0.$

Answer 2

Gracias por tu respuesta @MarkJoshi. He seguido tu consejo y he conseguido derivar la fórmula de aproximación. Sin embargo, no puedo entender completamente por qué el hecho de que la fórmula de Black es lineal en $\sigma$ para los strikes ATM hace que la aproximación de Rebonato sólo sea precisa para los strikes ATM y no para los strikes OTM e ITM.

Le agradecería si alguien me puede indicar la dirección correcta

Mis fundaciones:

He conseguido derivar la aproximación de la siguiente manera: Definiendo el factor de anualidad como $$A_{0,N}\left(t\right):=\sum_{n=0}^{N-1}\tau_nP\left(t,T_{n+1}\right)$$ y el tipo de cambio como $$S_{0,N}\left(t\right):=\frac{\sum_{n=0}^{N-1}\tau_nP\left(t,T_{n+1}\right)L_n\left(t\right)}{A_{0,N}\left(t\right)}$$ la fórmula de Black puede escribirse como $$Black\left(0\right)=A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)N\left(d_1\right)-KN\left(d_2\right)\right]$$ donde $$d_1=\frac{\log\left(S_{0,N}\left(0\right)/K\right)+\frac{\sigma^2T}{2}}{\sigma\sqrt{T}}$$ y $$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}$$ Teniendo en cuenta la huelga de los cajeros automáticos $K=S_{0,N}\left(0\right)$ obtengo: $$Black\left(0\right)=A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\left(N\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)-N\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)\right)\right]$$ $$=A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\left[N\left(0\right)+\frac{N'\left(0\right)}{1!}\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)+\frac{N''\left(0\right)}{2!}\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)^2+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)-\left(N\left(0\right)+\frac{N'\left(0\right)}{1!}\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)+\frac{N''\left(0\right)}{2!}\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)^2+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)\right)\right]\right]$$ $$=A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\left[N'\left(0\right)\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)-N'\left(0\right)\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)\right]\right]$$ $$=A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\sigma\sqrt{T}N'\left(0\right)+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)\right]$$ $$=A_{0,N}\left(0\right)\left[S_{0,N}\left(0\right)\frac{\sigma\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}}+O\left(\sigma^3T^{3/2}\right)\right]$$ $$\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}A_{0,N}\left(0\right)S_{0,N}\left(0\right)\sigma\sqrt{T}$$ donde la segunda igualdad se deduce por la expansión de Taylor de $N$ alrededor de $0$ y la aproximación se mantiene para valores pequeños de $\sigma\sqrt{T}$ .

He comprobado la exactitud de esta aproximación en Matlab para un swaption ATM 1Y6Y con un swap de pago subyacente, véase la figura siguiente.

Como puede verse en la figura, la aproximación funciona bien para valores pequeños de $\sigma$ .

Para las huelgas ITM y OTM, la fórmula de Black no es claramente lineal en $\sigma$ pero exhibe una forma convexa. He examinado el comportamiento de la fórmula de Black para los golpes OTM en Matlab y he obtenido los siguientes resultados:

A medida que el strike aumenta y el swaption se aleja más del dinero, la fórmula de Black se vuelve más convexa.

En la misma imagen también he representado, para diferentes strikes, el precio de la swaption 1Y6Y en términos de la volatilidad de la aproximación de Rebonato y en términos de la volatilidad implícita obtenida por una evaluación de Monte Carlo. Para el strike ATM, la volatilidad Rebonato y la volatilidad implícita MC son casi iguales. Para los strikes crecientes, la diferencia entre los dos tipos de volatilidad también aumenta, lo que significa que la aproximación de Rebonato es menos precisa para los strikes alejados del nivel at-the-money.

Pregunta 1 ¿Cómo puede relacionarse esta diferencia creciente (en la dirección del strike) entre la volatilidad implícita del MC y la volatilidad del Rebonato con el hecho de que la fórmula de Black es lineal para los strikes ATM?

Además, he observado que la aproximación de Rebonato se vuelve menos precisa (la diferencia entre la aproximación de Rebonato y la volatilidad implícita de MC aumenta) para las swaptions de mayor duración, incluso para el strike ATM. Realicé la misma prueba que la anterior para un swaption 5Y10Y y obtuve los siguientes resultados:

Como se puede ver en la figura, hay una diferencia significativa entre la volatilidad implícita del MC y la volatilidad del Rebonato para la huelga ATM. Comparando el precio MC y el precio obtenido al insertar la volatilidad Rebonato en Blck, la diferencia entre los precios es de 12,72 puntos básicos.

Pregunta 2 ¿Es coherente con la teoría que la aproximación de Rebonato es menos precisa para las swaptions ATM de larga duración? ¿Qué diferencia es aceptable? ¿Es aceptable 12,72 puntos básicos? ¿Significa esto que la aproximación de Rebonato sólo es precisa para los strikes ATM y las swaptions de fecha corta/media?